Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними
Определение многочленных матриц (λ-матриц)
Многочленной матрицей (или λ-матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной . Многочленные матрицы являются частным случаем функциональных. Далее будут рассматриваться только квадратные λ-матрицы n-го порядка:
(7.1)
Элементы λ-матрицы — это многочлены вида
где — коэффициенты; — степень многочлена (в общем случае разная для разных элементов матрицы).
Случай, когда все элементы λ-матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ-матрицы далее не рассматриваются.
Любую λ-матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами:
(7.2)
где — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица — старший коэффициент, матрица — свободный член, неотрицательное целое число — степень многочлена (7.2). Заметим, что степень многочлена (7.2) равна наибольшей из степеней элементов λ-матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: .
Две λ-матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:
Пример 7.1. Представить λ-матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.
Решение. Данная λ-матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем
Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .
Замечания 7.1
1. Учитывая представление λ-матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ-матрицы и равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок , одинаковую степень и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях .
2. Еще один критерий равенства λ-матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ-матрицы и , степень которых не превосходит , равны тогда и только тогда, когда равны числовые матрицы при различных значениях переменной .
Операции над многочленными λ-матрицами
Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ-матрицы.
Сложение многочленных матриц (λ-матриц)
Пусть и — λ-матрицы n-го порядка:
(7.3)
Суммой λ-матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:
(7.4)
где при , при .
Умножение многочленной матрицы (λ-матрицы) на многочлен
Произведением λ-матрицы на многочлен называется λ-матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле
Произведение матрицы (7.2) на многочлен можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами
(7.5)
степень которого равна сумме степеней множителей.
В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ-матрицы на число.
Операция вычитания λ-матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей
Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ-матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.
Умножение многочленных матриц (λ-матриц)
Пусть и — λ-матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле
называют произведением λ-матриц и и обозначают . Произведение λ-матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:
(7.6)
Транспонирование многочленных матриц (λ-матриц)
Транспонированной для λ-матрицы называется λ-матрица , элементы которой вычисляются по формуле
Она обозначается .
Транспонируя выражение , получаем представление транспонированной λ-матрицы в виде многочлена
Пример 7.2. Даны λ-матрицы и многочлен . Найти и .
Решение. Запишем данные λ-матрицы 2-го порядка как многочлены (степени и соответственно) с матричными коэффициентами:
Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.4), где
Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.5), где
Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ-матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: .
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.
Найдем транспонированную λ-матрицу .
Замечания 7.2
1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы и ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы и — ненулевые и, кроме того, , то произведение .
2. Как и у числовых матриц, произведение λ-матриц некоммутативно, т.е. (см. пример 7.2).
Определитель многочленной матрицы (λ-матриц)
Для нахождения определителя λ-матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ-матрица при фиксированном значении становится числовой. Заметим, что определитель λ-матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной . Рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.
Присоединенная λ-матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ-матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство
(7.6)
где — единичная матрица того же порядка, что и матрица .
Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят . Возьмем различных чисел . Для любого из них имеет место равенство
справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ-матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .
Обращение многочленных матриц (λ-матриц)
Обратной для квадратной λ-матрицы называется λ-матрица , если
(7.8)
где — единичная матрица того же порядка, что и матрица .
Необходимым и достаточным условием существования обратной λ-матрицы является условие , т.е. определитель обращаемой λ-матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ-матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому , где . Достаточность условия следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула
действительно определяет λ-матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.
Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.
Пример 7.3. Для λ-матрицы найти обратную λ-матрицу.
Решение. Вычислим определитель данной матрицы
Находим обратную λ-матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): . Сделаем проверку:
Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.
Делимость многочленных матриц (λ-матриц)
Рассматривая λ-матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ-матрицы на линейный двучлен вида , где — числовая матрица.
Теорема 7.1 о делимости λ-матриц на линейный двучлен. Любую λ-матрицу можно разделить слева на линейный двучлен , где — числовая матрица того же порядка, что и , т.е. существуют единственные λ-матрица и числовая матрица такие, что , где — левое частное, — левый остаток.
Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).
Аналогично определяется деление λ-матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.
Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами
и
которые, разумеется, при любом значении дают один и тот же результат. Если же вместо переменной подставить числовую квадратную матрицу того же порядка, что и , то получим, в общем случае, разные матрицы:
и
которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы вместо . При вычислении правого значения матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу , а при вычислении левого значения — слева.
Подставляя в равенства и вместо переменной матрицу , получаем и .
Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ-матрицы слева (справа) на линейный двучлен равен левому значению (соответственно, правому значению ).
Пример 7.4. Разделить λ-матрицу на матрицу , где .
Решение. Запишем λ-матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:
Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ-матрицу первой степени:
Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение . В результате получим числовую матрицу (остаток): Итак,
. Отсюда ,
где — левое частное, а — левый остаток.
Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ-матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу (остаток), равную . Выполнив эти действия, имеем
где — правое частное, — правый остаток.
Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной матрицу
Замечания 7.3
1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ-матрицы. Пусть
и
Подставляя в эти многочлены вместо аргумента матрицы и , найдем значения
Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .
2. Если λ-матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица симметрическая, то левое и правое значения λ-матрицы совпадают: .
3. Если — обратимая λ-матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть , где — правое значение многочлена при подстановке матрицы вместо . Умножив справа на , получим . Подставим вместо матрицу . Следовательно, правый остаток — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем , т.е. левый остаток — обратимая числовая матрица.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|