Транспонирование и сопряжение матриц
Транспонирование матриц
Для любой матрицы
транспонированной матрицей называется матрица
получающаяся из матрицы заменой строк столбцами, а столбцов — строками. Чтобы по данной матрице получить матрицу , нужно первую строку матрицы записать как первый столбец матрицы , вторую строку матрица записать как второй столбец матрицы и т.д. Эта операция называется транспонированием матрицы .
Квадратная матрица называется симметрической, если
и кососимметрической, если .
У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. У кососимметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, имеют противоположные знаки, а все диагональные элементы равны нулю.
Свойства операции транспонирования матриц
Пусть — любое число, — произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:
Пример 1.18. Найти транспонированные матрицы , если
Решение. Согласно определению, при транспонировании первая строка матрицы является первым столбцом матрицы , вторая строка — вторым столбцом:
Аналогично находим
Так как , то матрица — кососимметрическая. Поскольку , то матрица — симметрическая.
Пример 1.19. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если
Решение. Продемонстрируем свойство 1: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы
Продемонстрируем свойство 2: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы
Продемонстрируем свойство 3: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы:
Продемонстрируем свойство 4: . Вычисляя левую часть, получаем правую:
Пример 1.20. Пусть — произвольная матрица размеров , — любая квадратная n-го порядка. Доказать, что матрицы — симметрические, а матрица — кососимметрическая.
Решение. По свойствам 3,4 получаем:
По свойствам 2,4 имеем:
Сопряжение матриц
Пусть — матрица размеров , элементы которой являются комплексными числами (комплексная матрица). Сопряженной матрицей называется матрица размеров , получаемая из матрицы в результате транспонирования и замены каждого элемента транспонированной матрицы комплексным сопряженным.
Квадратная матрица называется эрмитовой, если .
Пример 1.21. Даны матрицы и . Найти сопряженные матрицы .
Решение. Найдем транспонированные матрицы:
Заменим все элементы сопряженными:
Заметим, что матрица — эрмитова, так как .
Свойства операции сопряжения матриц
1. ;
2. ;
3. ;
4. ,
где — произвольные матрицы, для которых определены соответствующие операции, — любое комплексное число, — сопряженное к число.
Пример 1.22. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если
Решение. 1. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 1:
2. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 2:
3. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства
4. Вычисляем левую часть равенства 4 и сравниваем ее с правой частью:
Замечания 1.4.
1. Если все элементы матрицы действительные числа (действительная матрица), то сопряженная матрица совпадает с транспонированной, т.е. .
2. Всякую комплексную матрицу (с элементами ) можно представить в виде , где и — действительная и мнимая части матрицы (с элементами и соответственно). При этом сопряженную матрицу можно представить в виде .
3. Всякую эрмитову матрицу можно представить в виде , где — действительная симметрическая матрица , а — действительная кососимметрическая матрица . В самом деле, из равенства , учитывая пункт 2, следует, что . Равенство действительных частей дает , а равенство мнимых частей влечет .
Пример 1.23. Пусть — комплексная матрица размеров . Доказать, что матрицы — эрмитовы m-го и n-го порядков соответственно.
Решение. Используя свойства 3, 4, получаем:
что и требовалось доказать.
Замечания 1.5
1. Эрмитова матрица с действительными элементами является симметрической. 2. Элементы эрмитовой матрицы, стоящие на главной диагонали, действительны (например, матрица в примере 1.21).
След матрицы
Следом квадратной матрицы называется сумма ее элементов, стоящих на главной диагонали. След квадратной матрицы n-го порядка обозначается
Для любых квадратных матриц n-го порядка и столбцов размеров справедливы следующие свойства:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
Замечание 1.6. След матрицы также обозначается .
Пример 1.24. Даны квадратные матрицы и столбцы . Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, 5, 7.
Решение.
1. ;
2. ;
4.
5.
6.
7.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|