Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.comRSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору


Общее уравнение плоскости


Ненулевой вектор \vec{n}, перпендикулярный заданной плоскости, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости.


Пусть в координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы:


а) точка M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0});

б) ненулевой вектор \vec{n}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}+C\cdot\vec{k} (рис.4.8,а).


Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) перпендикулярно вектору \vec{n}.


Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Выберем в пространстве произвольную точку M(x,y,z). Обозначим \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}, \vec{r}_{0}=\overrightarrow{OM_{0}}=x_{0}\vec{i}+y_{0}\vec{j}+z_{0}\vec{k}, — радиус-векторы точек M(x,y,z) и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) Точка M принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{M_{0}M} и \vec{n} перпендикулярны (рис.4.8,б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения:


\left\langle\overrightarrow{M_{0}M},\,\vec{n}\right\rangle=0.

Учитывая, что \overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-\vec{r}_{0}, получаем векторное уравнение плоскости:


{\color{red}\boxed{{\color{black}\langle\vec{r}-\vec{r}_{0},\,\vec{n}\rangle=0}}}
(4.12)

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть \langle\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle=\langle\vec{r},\vec{n}\rangle-\langle\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle используя свойства скалярного произведения. Обозначая c=\langle\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle получаем уравнение \langle\vec{r},\vec{n}\rangle-c=0, или

\langle\vec{r},\,\vec{n}\rangle=c,
(4.13)

выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих плоскости.

Получим координатную форму записи векторного уравнения плоскости (4.12). Так как \vec{r}-\vec{r}_{0}=(x-x_{0})\vec{i}+(y-y_{0})\vec{j}+(z-z_{0})\vec{k}, \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}, формуле (1.10) находим


\langle\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle= (x-x_{0})\cdot A+(y-y_{0})\cdot B+(z-z_{0})\cdot C=0,

A\cdot(x-x_{0})+ B\cdot(y-y_{0})+ C\cdot(z-z_{0}) =0.
(4.14)

Полученное соотношение (4.14) позволяет по координатам точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и координатам A,\,B,\,C нормали \vec{n} сразу записать искомое уравнение плоскости.


Обозначив D=-A\cdot x_{0}-B\cdot y_{0}-C\cdot z_{0}, получим общее уравнение плоскости


{\color{red}\boxed{{\color{black}A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0}}}
(4.15)

Поскольку коэффициенты A,\,B,\,C не равны нулю одновременно (это координаты ненулевого вектора \vec{n}), уравнение (4.15) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с тремя неизвестными. Следовательно, плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.


Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (4.15) задает в координатном пространстве плоскость. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 4.1, они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.


Теорема (4.2) об алгебраической поверхности первого порядка

Всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными задает в аффинной системе координат плоскость, и наоборот, всякая плоскость в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с тремя неизвестными. Другими словами, алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость.




Замечания 4.2.


1. При составлении общего уравнения плоскости нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали \vec{n}, а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор (-\vec{n}) также является нормалью). Например, вместо нормали \vec{n} можно взять нормаль -7\vec{n}, что соответствует умножению обеих частей уравнения (4.15) на число –7.


2. Если в общем уравнении плоскости (4.15) коэффициент при неизвестной равен нулю, то плоскость параллельна координатной оси. Например, если A=0 то плоскость (4.15) параллельна оси абсцисс Ox (рис.4.9,а); если A=B=0 то плоскость (4.15) параллельна координатным осям Ox и Oy, т.е. параллельна координатной плоскости Oxy (рис.4.9,б).


Если в общем уравнении плоскости (4.15) свободный член равен нулю (D=0), то плоскость проходит через начало координат (рис.4.9,в).


Варианты расположения плоскости в пространстве

3. Нормаль \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k} к плоскости Ax+By+Cz+D=0 совпадает с градиентом функции f(x,y,z)=Ax+By+Cz+D:


\begin{aligned} \operatorname{grad}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)&= \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\cdot\vec{i}+ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\cdot\vec{j}+ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\cdot\vec{k}=\\[3pt] &=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}+C\cdot\vec{k}=\vec{n}\,. \end{aligned}

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.


Положительное и отрицательное полупространства

4. Плоскость Ax+By+Cz+D=0 разбивает пространство на два полупространства (рис.4.10): положительное, координаты всех точек которого удовлетворяют неравенству Ax+By+Cz+D\geqslant0, и отрицательное, для точек которого Ax+By+Cz+D\leqslant0. Нормаль \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}, приложенная к произвольной точке плоскости Ax+By+Cz+D=0, указывает на положительное полупространство (рис.4.10).


Это свойство следует из пункта 3.


5. Абсолютное значение |Ax+By+Cz+D| пропорционально расстоянию от точки M(x,y,z) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 т.е. отношение расстояний от точек M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) и M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 равно отношению \frac{|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{|Ax_{2}+By_{2}+Cz_{2}+D|}\,.


Доказательство аналогично доказательству пункта 5 замечаний 3.2.


6. В аффинной системе координат O\vec{e}_{1}\vec{e}_{2}\vec{e}_3 линейное уравнение a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_3x_3+a_4=0 задает, согласно теореме 4.2, плоскость. Выводы, полученные в п.2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор \vec{n}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_3\vec{e}_3 не является нормалью.




Пример 4.5. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1). Составить уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку KL и проходящей через его середину (рис.4.11).


Уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину

Решение. Находим координаты середины M отрезка K\colon\,M\!\left(\frac{1+5}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+1}{2}\right)\!, т.е. M(3;1;2). Вектор \overrightarrow{KL} можно взять в качестве нормали к плоскости. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:


\overrightarrow{KL}= (5-1)\cdot\vec{i}+(0-2)\cdot\vec{j}+(1-3)\cdot\vec{k}= 4\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}-2\cdot\vec{k}=\vec{n}\,.

Следовательно, уравнение (4.15) искомой плоскости имеет вид 4x-2y-2z+D=0.


Осталось найти величину свободного члена D. Поскольку точка M(3;1;2) принадлежит плоскости, то ее координаты x=3, y=1, z=2 должны удовлетворять уравнению этой плоскости, следовательно, 4\cdot3-2\cdot1-2\cdot2+D=0, отсюда В=-6 Таким образом, искомая плоскость задается уравнением


4\cdot x-2\cdot y-2\cdot z-6=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x-y-z-3=0.

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (4.14), подставляя координаты нормали \vec{n}=4\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k} и точки M(3;1;2): 4(x-3)-2(y-1)-2(z-1)=0.




Расстояние от точки до плоскости


Расстояние от точки до плоскости и ортогональная проекция вектора

Пусть заданы:


а) плоскость, описываемая общим уравнением (4.15): A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0;

б) точка M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast},z^{\ast}) в пространстве.


Требуется найти расстояние d от точки до плоскости.


Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора \overrightarrow{M_{0}M^{\ast}} на направление нормали \vec{n} (рис.4.12) и находится по формуле:


d=\left|\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}\right|= \frac{\Bigl|\Bigl\langle\vec{n},\overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}\Bigl\rangle\Bigr|}{|\vec{n}|},

где M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) — любая точка на заданной плоскости.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов


\begin{gathered} \vec{n}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}+C\cdot\vec{k}, \quad \overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}=(x^{\ast}-x_{0})\cdot\vec{i}+(y^{\ast}-y_{0})\cdot\vec{j}+(z^{\ast}-z_{0})\cdot\vec{k}\,\colon\\[5pt] d=\frac{|A(x^{\ast}-x_{0})+B(y^{\ast}-y_{0})+C(z^{\ast}-z_{0})|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax^{\ast}+By^{\ast}+Cz^{\ast}-(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,. \end{gathered}

Поскольку координаты точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) удовлетворяют уравнению (4.15), то Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}=-D. Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до плоскости


{\color{red}\boxed{{\color{black}d=\frac{|A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C\cdot z^{\ast}+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}}}
(4.16)



Пример 4.6. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1). Требуется найти, в каком отношении плоскость \rho\colon3x-4y+z-13=0 делит отрезок KL (рис.4.13).


Решение. Найдем значения линейного четырехчлена p(x,y,z)=3x-5y+z-13 в точках K(1;2;3) и L(5;0;1):


Найти, в каком отношении плоскость p делит отрезок KL
p(1;2;3)=3\cdot1-4\cdot2+1\cdot3-13=-15\phantom{H} и \phantom{H}p(5;0;1)=3\cdot5-4\cdot0+1\cdot1-13=3.

Получили значения разных знаков. Следовательно, точки K и L лежат по разные стороны от плоскости я (согласно пункту 4 замечаний 4.2, эти точки лежат в разных полупространствах), т.е. плоскость \rho действительно пересекает отрезок KL (в точке M на рис.4.13). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек K и L до плоскости \rho, то

\frac{KM}{ML}=\frac{|p(1;2;3)|}{|p(5;0;1)|}=\frac{|-15|}{|3|}=\frac{5}{1}=5:1\,.

Этот же результат можно получить по формуле (4.16). Находим расстояния d_{K} и d_{L} от точек K и L до плоскости \rho:


d_{K}=\frac{|3\cdot1-4\cdot2+3-13|}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{26}}; \quad d_{L}=\frac{|3\cdot5-4\cdot0+1-13|}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{26}}\,.

Следовательно, \frac{KL}{ML}=\frac{d_{K}}{d_{L}}=\frac{5}{1}=5:1.




Нормированное уравнение плоскости


Преобразуем общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 следующим образом. Если свободный член D<0, то разделим обе части на длину нормали |\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,, а если D\geqslant0, то разделим на -|\vec{n}|=-\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,, Коэффициенты при неизвестных при этом станут равными направляющим косинусам нормали:


\cos\alpha=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \quad \cos\beta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \quad \cos\gamma=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,,

а свободный член \frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, в силу описанного выбора знака, будет неположительным. Обозначим его через -\rho=\frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. Тогда получим нормированное уравнение плоскости


{\color{red}\boxed{{\color{black}x\cdot\cos\alpha+y\cdot\cos\beta+z\cdot\cos\gamma-\rho=0,~\rho\geqslant0}}}
(4.17)



Замечания 4.3.


1. Свободный член \rho нормированного уравнения (4.17) равен расстоянию от начала координат до плоскости. Это следует из формулы (4.16).


Нормированное уравнение плоскости

2. Нормированное уравнение плоскости (4.17) можно записать в виде (4.13): \langle\vec{r},\vec{n}\rangle=\rho, если в качестве нормали \vec{n} вы брать единичный вектор \vec{n}=\vec{i}\cos\alpha+\vec{j}\cos\beta+\vec{k}\cos\gamma\,, так как x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=\langle\vec{r},\vec{n}\rangle. Из двух возможных единичных нормалей условию \rho>0 отвечает нормаль \vec{n}, направленная к плоскости (рис.4.14), если вектор \vec{n} приложить к началу координат. При выборе противоположного вектора (-\vec{n}) получилось бы отрицательное значение \rho, которое не допускается в уравнении (4.17).


3. Коэффициенты общего уравнения плоскости (4.15) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали (см. пункт 1 замечаний 4.2). При составлении нормированного уравнения (4.17) плоскости такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при \rho>0) или с точностью до знака (при \rho=0).


4. Нормированное уравнение плоскости имеет смысл только в прямоугольной системе координат.




Пример 4.7. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1) (см. рис.4.11). Требуется:


а) составить нормированное уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку KL и проходящей через его середину;

б) найти расстояние от начала координат до этой плоскости.


Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: 2x-y-z-3=0. Найдем длину нормали


\vec{n}=2\cdot\vec{i}-1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k} \quad \Rightarrow \quad |\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\,.

Так как свободный член отрицательный, разделим уравнение на \sqrt{6}: \frac{2x}{\sqrt{6}}-\frac{y}{\sqrt{6}}-\frac{z}{\sqrt{6}}-\frac{3}{\sqrt{6}}=0. Нормированное уравнение плоскости получено.


б) По нормированному уравнению определяем расстояние \rho=\frac{3}{\sqrt{6}} от начала координат до плоскости (см. пункт 1 замечаний 4.3).

загрузка...

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2014 MathHelpPlanet.com. All rights reserved