Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.comRSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору


Общее уравнение плоскости


Ненулевой вектор [math]\vec{n}[/math], перпендикулярный заданной плоскости, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости.


Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы:


а) точка [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math];

б) ненулевой вектор [math]\vec{n}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}+C\cdot\vec{k}[/math] (рис.4.8,а).


Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] перпендикулярно вектору [math]\vec{n}.[/math]


Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Выберем в пространстве произвольную точку [math]M(x,y,z)[/math]. Обозначим [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k},[/math] [math]\vec{r}_{0}=\overrightarrow{OM_{0}}=x_{0}\vec{i}+y_{0}\vec{j}+z_{0}\vec{k},[/math] — радиус-векторы точек [math]M(x,y,z)[/math] и [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] Точка [math]M[/math] принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы [math]\overrightarrow{M_{0}M}[/math] и [math]\vec{n}[/math] перпендикулярны (рис.4.8,б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения:


[math]\left\langle\overrightarrow{M_{0}M},\,\vec{n}\right\rangle=0.[/math]

Учитывая, что [math]\overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-\vec{r}_{0}[/math], получаем векторное уравнение плоскости:


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\langle\vec{r}-\vec{r}_{0},\,\vec{n}\rangle=0}}}[/math]
(4.12)

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть [math]\langle\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle=\langle\vec{r},\vec{n}\rangle-\langle\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle[/math] используя свойства скалярного произведения. Обозначая [math]c=\langle\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle[/math] получаем уравнение [math]\langle\vec{r},\vec{n}\rangle-c=0,[/math] или

[math]\langle\vec{r},\,\vec{n}\rangle=c,[/math]
(4.13)

выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих плоскости.

Получим координатную форму записи векторного уравнения плоскости (4.12). Так как [math]\vec{r}-\vec{r}_{0}=(x-x_{0})\vec{i}+(y-y_{0})\vec{j}+(z-z_{0})\vec{k},[/math] [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k},[/math] формуле (1.10) находим


[math]\langle\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{n}\rangle= (x-x_{0})\cdot A+(y-y_{0})\cdot B+(z-z_{0})\cdot C=0,[/math]

[math]A\cdot(x-x_{0})+ B\cdot(y-y_{0})+ C\cdot(z-z_{0}) =0.[/math]
(4.14)

Полученное соотношение (4.14) позволяет по координатам точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] и координатам [math]A,\,B,\,C[/math] нормали [math]\vec{n}[/math] сразу записать искомое уравнение плоскости.


Обозначив [math]D=-A\cdot x_{0}-B\cdot y_{0}-C\cdot z_{0}[/math], получим общее уравнение плоскости


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0}}}[/math]
(4.15)

Поскольку коэффициенты [math]A,\,B,\,C[/math] не равны нулю одновременно (это координаты ненулевого вектора [math]\vec{n}[/math]), уравнение (4.15) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с тремя неизвестными. Следовательно, плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.


Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (4.15) задает в координатном пространстве плоскость. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 4.1, они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.


Теорема (4.2) об алгебраической поверхности первого порядка

Всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными задает в аффинной системе координат плоскость, и наоборот, всякая плоскость в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с тремя неизвестными. Другими словами, алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость.




Замечания 4.2.


1. При составлении общего уравнения плоскости нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали [math]\vec{n},[/math] а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор [math](-\vec{n})[/math] также является нормалью). Например, вместо нормали [math]\vec{n}[/math] можно взять нормаль [math]-7\vec{n},[/math] что соответствует умножению обеих частей уравнения (4.15) на число –7.


2. Если в общем уравнении плоскости (4.15) коэффициент при неизвестной равен нулю, то плоскость параллельна координатной оси. Например, если [math]A=0[/math] то плоскость (4.15) параллельна оси абсцисс [math]Ox[/math] (рис.4.9,а); если [math]A=B=0[/math] то плоскость (4.15) параллельна координатным осям [math]Ox[/math] и [math]Oy,[/math] т.е. параллельна координатной плоскости [math]Oxy[/math] (рис.4.9,б).


Если в общем уравнении плоскости (4.15) свободный член равен нулю [math](D=0),[/math] то плоскость проходит через начало координат (рис.4.9,в).


Варианты расположения плоскости в пространстве

3. Нормаль [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}[/math] к плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] совпадает с градиентом функции [math]f(x,y,z)=Ax+By+Cz+D:[/math]


[math]\begin{aligned} \operatorname{grad}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)&= \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\cdot\vec{i}+ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\cdot\vec{j}+ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\cdot\vec{k}=\\[3pt] &=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}+C\cdot\vec{k}=\vec{n}\,. \end{aligned}[/math]

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.


Положительное и отрицательное полупространства

4. Плоскость [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] разбивает пространство на два полупространства (рис.4.10): положительное, координаты всех точек которого удовлетворяют неравенству [math]Ax+By+Cz+D\geqslant0,[/math] и отрицательное, для точек которого [math]Ax+By+Cz+D\leqslant0.[/math] Нормаль [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k},[/math] приложенная к произвольной точке плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0,[/math] указывает на положительное полупространство (рис.4.10).


Это свойство следует из пункта 3.


5. Абсолютное значение [math]|Ax+By+Cz+D|[/math] пропорционально расстоянию от точки [math]M(x,y,z)[/math] до плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] т.е. отношение расстояний от точек [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})[/math] и [math]M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})[/math] до плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] равно отношению [math]\frac{|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{|Ax_{2}+By_{2}+Cz_{2}+D|}\,.[/math]


Доказательство аналогично доказательству пункта 5 замечаний 3.2.


6. В аффинной системе координат [math]O\vec{e}_{1}\vec{e}_{2}\vec{e}_3[/math] линейное уравнение [math]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_3x_3+a_4=0[/math] задает, согласно теореме 4.2, плоскость. Выводы, полученные в п.2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор [math]\vec{n}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_3\vec{e}_3[/math] не является нормалью.




Пример 4.5. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(1;2;3)[/math] и [math]L(5;0;1).[/math] Составить уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку [math]KL[/math] и проходящей через его середину (рис.4.11).


Уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину

Решение. Находим координаты середины [math]M[/math] отрезка [math]K\colon\,M\!\left(\frac{1+5}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+1}{2}\right)\!,[/math] т.е. [math]M(3;1;2).[/math] Вектор [math]\overrightarrow{KL}[/math] можно взять в качестве нормали к плоскости. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:


[math]\overrightarrow{KL}= (5-1)\cdot\vec{i}+(0-2)\cdot\vec{j}+(1-3)\cdot\vec{k}= 4\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}-2\cdot\vec{k}=\vec{n}\,.[/math]

Следовательно, уравнение (4.15) искомой плоскости имеет вид [math]4x-2y-2z+D=0.[/math]


Осталось найти величину свободного члена [math]D[/math]. Поскольку точка [math]M(3;1;2)[/math] принадлежит плоскости, то ее координаты [math]x=3,[/math] [math]y=1,[/math] [math]z=2[/math] должны удовлетворять уравнению этой плоскости, следовательно, [math]4\cdot3-2\cdot1-2\cdot2+D=0,[/math] отсюда [math]В=-6[/math] Таким образом, искомая плоскость задается уравнением


[math]4\cdot x-2\cdot y-2\cdot z-6=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x-y-z-3=0.[/math]

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (4.14), подставляя координаты нормали [math]\vec{n}=4\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}[/math] и точки [math]M(3;1;2):[/math] [math]4(x-3)-2(y-1)-2(z-1)=0.[/math]




Расстояние от точки до плоскости


Расстояние от точки до плоскости и ортогональная проекция вектора

Пусть заданы:


а) плоскость, описываемая общим уравнением (4.15): [math]A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0[/math];

б) точка [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast},z^{\ast})[/math] в пространстве.


Требуется найти расстояние [math]d[/math] от точки до плоскости.


Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора [math]\overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}[/math] на направление нормали [math]\vec{n}[/math] (рис.4.12) и находится по формуле:


[math]d=\left|\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}\right|= \frac{\Bigl|\Bigl\langle\vec{n},\overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}\Bigl\rangle\Bigr|}{|\vec{n}|}[/math],

где [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] — любая точка на заданной плоскости.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов


[math]\begin{gathered} \vec{n}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}+C\cdot\vec{k}, \quad \overrightarrow{M_{0}M^{\ast}}=(x^{\ast}-x_{0})\cdot\vec{i}+(y^{\ast}-y_{0})\cdot\vec{j}+(z^{\ast}-z_{0})\cdot\vec{k}\,\colon\\[5pt] d=\frac{|A(x^{\ast}-x_{0})+B(y^{\ast}-y_{0})+C(z^{\ast}-z_{0})|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax^{\ast}+By^{\ast}+Cz^{\ast}-(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,. \end{gathered}[/math]

Поскольку координаты точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] удовлетворяют уравнению (4.15), то [math]Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}=-D.[/math] Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до плоскости


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}d=\frac{|A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C\cdot z^{\ast}+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}}}[/math]
(4.16)



Пример 4.6. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(1;2;3)[/math] и [math]L(5;0;1).[/math] Требуется найти, в каком отношении плоскость [math]\rho\colon3x-4y+z-13=0[/math] делит отрезок [math]KL[/math] (рис.4.13).


Решение. Найдем значения линейного четырехчлена [math]p(x,y,z)=3x-5y+z-13[/math] в точках [math]K(1;2;3)[/math] и [math]L(5;0;1):[/math]


Найти, в каком отношении плоскость p делит отрезок KL
[math]p(1;2;3)=3\cdot1-4\cdot2+1\cdot3-13=-15\phantom{H}[/math] и [math]\phantom{H}p(5;0;1)=3\cdot5-4\cdot0+1\cdot1-13=3.[/math]

Получили значения разных знаков. Следовательно, точки [math]K[/math] и [math]L[/math] лежат по разные стороны от плоскости я (согласно пункту 4 замечаний 4.2, эти точки лежат в разных полупространствах), т.е. плоскость [math]\rho[/math] действительно пересекает отрезок [math]KL[/math] (в точке [math]M[/math] на рис.4.13). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек [math]K[/math] и [math]L[/math] до плоскости [math]\rho[/math], то

[math]\frac{KM}{ML}=\frac{|p(1;2;3)|}{|p(5;0;1)|}=\frac{|-15|}{|3|}=\frac{5}{1}=5:1\,.[/math]

Этот же результат можно получить по формуле (4.16). Находим расстояния [math]d_{K}[/math] и [math]d_{L}[/math] от точек [math]K[/math] и [math]L[/math] до плоскости [math]\rho:[/math]


[math]d_{K}=\frac{|3\cdot1-4\cdot2+3-13|}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{26}}; \quad d_{L}=\frac{|3\cdot5-4\cdot0+1-13|}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{26}}\,.[/math]

Следовательно, [math]\frac{KL}{ML}=\frac{d_{K}}{d_{L}}=\frac{5}{1}=5:1.[/math]




Нормированное уравнение плоскости


Преобразуем общее уравнение плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] следующим образом. Если свободный член [math]D<0,[/math] то разделим обе части на длину нормали [math]|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,,[/math] а если [math]D\geqslant0,[/math] то разделим на [math]-|\vec{n}|=-\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,,[/math] Коэффициенты при неизвестных при этом станут равными направляющим косинусам нормали:


[math]\cos\alpha=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \quad \cos\beta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \quad \cos\gamma=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,,[/math]

а свободный член [math]\frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/math], в силу описанного выбора знака, будет неположительным. Обозначим его через [math]-\rho=\frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.[/math] Тогда получим нормированное уравнение плоскости


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}x\cdot\cos\alpha+y\cdot\cos\beta+z\cdot\cos\gamma-\rho=0,~\rho\geqslant0}}}[/math]
(4.17)



Замечания 4.3.


1. Свободный член [math]\rho[/math] нормированного уравнения (4.17) равен расстоянию от начала координат до плоскости. Это следует из формулы (4.16).


Нормированное уравнение плоскости

2. Нормированное уравнение плоскости (4.17) можно записать в виде (4.13): [math]\langle\vec{r},\vec{n}\rangle=\rho,[/math] если в качестве нормали [math]\vec{n}[/math] вы брать единичный вектор [math]\vec{n}=\vec{i}\cos\alpha+\vec{j}\cos\beta+\vec{k}\cos\gamma\,,[/math] так как [math]x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=\langle\vec{r},\vec{n}\rangle.[/math] Из двух возможных единичных нормалей условию [math]\rho>0[/math] отвечает нормаль [math]\vec{n},[/math] направленная к плоскости (рис.4.14), если вектор [math]\vec{n}[/math] приложить к началу координат. При выборе противоположного вектора [math](-\vec{n})[/math] получилось бы отрицательное значение [math]\rho,[/math] которое не допускается в уравнении (4.17).


3. Коэффициенты общего уравнения плоскости (4.15) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали (см. пункт 1 замечаний 4.2). При составлении нормированного уравнения (4.17) плоскости такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при [math]\rho>0[/math]) или с точностью до знака (при [math]\rho=0).[/math]


4. Нормированное уравнение плоскости имеет смысл только в прямоугольной системе координат.




Пример 4.7. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(1;2;3)[/math] и [math]L(5;0;1)[/math] (см. рис.4.11). Требуется:


а) составить нормированное уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку [math]KL[/math] и проходящей через его середину;

б) найти расстояние от начала координат до этой плоскости.


Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: [math]2x-y-z-3=0.[/math] Найдем длину нормали


[math]\vec{n}=2\cdot\vec{i}-1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k} \quad \Rightarrow \quad |\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\,.[/math]

Так как свободный член отрицательный, разделим уравнение на [math]\sqrt{6}:[/math] [math]\frac{2x}{\sqrt{6}}-\frac{y}{\sqrt{6}}-\frac{z}{\sqrt{6}}-\frac{3}{\sqrt{6}}=0.[/math] Нормированное уравнение плоскости получено.


б) По нормированному уравнению определяем расстояние [math]\rho=\frac{3}{\sqrt{6}}[/math] от начала координат до плоскости (см. пункт 1 замечаний 4.3).

загрузка...

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved