Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов и не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скалярное произведение через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.
Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:
— если векторы и относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
(1.9)
— если векторы и относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
(1.10)
Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:
(1.11)
Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов и получаем:
Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому
что и требовалось доказать.
Замечания 1.10
1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов и можно получить из (1.10), полагая .
2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если и координатные столбцы векторов и в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:
Для векторов на плоскости соответственно получаем
3. Координаты вектора в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:
В самом деле, подставляя в (1.10) координаты базисного вектора , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).
4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.
Пример 1.15. Даны векторы . Найти скалярные произведения
Решение. По формуле (1.10) вычисляем
Сравнивая вектор со скалярными произведениями обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.
Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам соответствуют координатные столбцы Поэтому
что совпадает с полученными ранее результатами.
Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед построен на векторах (см. рис. 1.38). Точка — центр грани , точка делит ребро в отношении . Требуется найти:
а) величину угла между векторами и ;
б) длину ортогональной проекции вектора на прямую .
Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе :
(см. решение примера 1.12)
По формуле (1.10) находим скалярные произведения:
а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):
Длина была найдена в примере 1.12.
Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла
т.е.
Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:
Скалярное произведение векторов в произвольном базисе
Пусть — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов и :
Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел , называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов :
(1.12)
Координаты каждого из векторов и представим в виде столбцов
и соответственно. Тогда для скалярного произведения получим или, короче,
(1.13)
Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле (1.13), где — координатные столбцы векторов и соответственно, a —матрица Грама (1.12) базиса .
Замечания 1.11.
1. Для ортонормированного базиса матрица Грама имеет вид
т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем
что совпадает с (1.10).
2. Для произвольного базиса на плоскости скалярное произведение векторов и находится по формуле:
где — координатные столбцы векторов и соответственно, a — матрица Грама базиса .
В частности, для ортонормированного базиса матрица Грама является единичной: , поэтому скалярное произведение векторов и находится по формуле , что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при .
Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:
а) два единичных вектора , служащие сторонами правильного треугольника (рис.1.39,а);
б) три единичных вектора , служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).
Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: .
Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен , получаем
Записываем матрицу Грама
Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора .
Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: . Следовательно, .
б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен , получаем
Записываем матрицу Грама: . Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:
Следовательно,
Скалярное произведение векторов во взаимных базисах
Пусть на плоскости задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если
Пусть в пространстве задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если
Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.
1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.
2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.
3. Пусть векторы и заданы своими координатами относительно взаимных базисов:
Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: , т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.
4. Если и взаимные базисы, то координаты любого вектора относительно базиса находятся по формулам
Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис (рис.1.40,а). Вектор взаимного базиса перпендикулярен вектору , так как (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора выбираем то, которое образует острый угол с вектором , так как . Следовательно, направление вектора определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): , так как .
Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора . Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.
Заметим, что для стандартного базиса на плоскости (или базиса в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом (соответственно )
Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:
что и требовалось доказать.
Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, . Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.
Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).
б) Внутри угла величиной взята точка , удаленная от сторон и на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка (рис.1.41,б).
Решение. а) Так как базисный вектор единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор можно построить следующим образом. Через начало вектора (точку ) и конец вектора (точку ) проводим прямые, перпендикулярные векторам и соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора (его начало совпадает с точкой ). Аналогично строится вектор (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо , а также . Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): , т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами и равен (напомним, что ), то из прямоугольного треугольника с катетом . Длина вектора такая же.
б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов , который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора на оси, определяемые векторами взаимного базиса: . По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем
где — координаты вектора в базисе . Так как (см. пункт "а"), то . Длину вектора вычисляем по формуле, следующей из пункта 2 замечаний 1.10 при , используя матрицу Грама для базиса , найденную в примере 1.17 пункт "а":
Следовательно, .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|