Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 16:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2021, 11:59
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Прошу помогите с задачей, пытался применить Мюрхеда и ни к чему не пришел.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 16:45 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 123
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
91 раз в 63 сообщениях
Очков репутации: 18

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь я написал комментарии по геометрии и удалил, т.к. ТС подряд дал две похожие темы

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 17:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 5767
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 787
Спасибо получено:
430 раз в 403 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
От обратного пусть:

[math]\frac{ a }{ a+2b }+\frac{ b }{ b +2c}+\frac{ c }{ c+2a } < 1[/math]

[math]\frac{ 3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)) }{ (a+2b)(b+2c)(c+2a) }<1[/math]

[math]3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a))<(a+2b)(b+2c)(c+2a)[/math]

[math]a^2b+b^2c+c^2a<3abc[/math], что при [math]a, b, c \geqslant 0[/math] не выполняется даже при [math]a=b=c[/math]. Следовательно, утверждение в условии верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали:
Fyodor272000
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 19:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7133
Cпасибо сказано: 213
Спасибо получено:
2565 раз в 2366 сообщениях
Очков репутации: 414

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
От обратного пусть:

На самом деле это делать не нужно, достаточно (повторив те же выкладки) доказать в самом конце: [math]a^2b+b^2c+c^2a \geqslant 3abc[/math] с помощью неравенства Коши: [math]a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
3axap, Fyodor272000
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 25 сен 2022, 16:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2021, 11:59
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
От обратного пусть:

[math]\frac{ a }{ a+2b }+\frac{ b }{ b +2c}+\frac{ c }{ c+2a } < 1[/math]

[math]\frac{ 3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)) }{ (a+2b)(b+2c)(c+2a) }<1[/math]

[math]3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a))<(a+2b)(b+2c)(c+2a)[/math]

[math]a^2b+b^2c+c^2a<3abc[/math], что при [math]a, b, c \geqslant 0[/math] не выполняется даже при [math]a=b=c[/math]. Следовательно, утверждение в условии верно.

Спасибо вам!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 03 окт 2022, 05:43 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 окт 2018, 20:37
Сообщений: 25
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я решил через неравенство Коши — Буняковского (считаем, что оно доказано, ибо входит в программу олимпиадной подготовки):

[math](a_1^2+a_2^2 +a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \geqslant (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2.[/math]


Выведем из него лемму Титу. Запишем неравенство КБ для наборов [math]a_i=\dfrac{x_i}{\sqrt{y_i}}[/math] и [math]b_i=\sqrt{y_i}, \; \; i=1,2,3[/math]:
[math]\left(\dfrac{x_1^2}{y_1}+\dfrac{x_2^2}{y_2}+\dfrac{x_3^2}{y_3}\right)\cdot (y_1+y_2 +y_3)\geqslant (x_1+x_2 + x_3)^2;[/math]


[math]\dfrac{x_1^2}{y_1}+\dfrac{x_2^2}{y_2}+\dfrac{x_3^2}{y_3} \geqslant \dfrac{(x_1+x_2+ x_3)^2}{y_1+y_2 + y_3}.[/math]


Докажем сабж:
[math]\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\geqslant 1[/math]


Умножим обе части каждой дроби на её числитель и применим лемму Титу:

[math]\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ca} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Daniel_T "Спасибо" сказали:
Fyodor272000
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 03 окт 2022, 08:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 5081
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
891 раз в 842 сообщениях
Очков репутации: 72

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Daniel_T, верно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Daniel_T
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 03 окт 2022, 12:21 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 465
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
45 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если заметить, что левая часть неравенства -- однородная функция порядка 0 , то задача в лоб легко решается путем нахождения условных экстремумов функции на куске сферы [math]a^2+b^2+c^2=1,\quad a,b,c> 0[/math] методом множителей Лагранжа

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
Daniel_T
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 03 окт 2022, 12:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7133
Cпасибо сказано: 213
Спасибо получено:
2565 раз в 2366 сообщениях
Очков репутации: 414

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
методом множителей Лагранжа

Это школьное, хотя и олимпиадное, неравенство!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 03 окт 2022, 15:05 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 465
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
45 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
мне пофиг, я математику комментирую

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
Daniel_T
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиадное задание

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Vorobej

16

976

27 ноя 2014, 00:21

Олимпиадное задание

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

pomogite

1

461

30 окт 2013, 20:19

Олимпиадное задание 7-8 кл

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

evgenia2104

2

313

26 фев 2017, 06:11

Ещё одно олимпиадное задание

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Vorobej

33

1945

27 ноя 2014, 00:23

Олимпиадное уравнение 9 класса

в форуме Алгебра

rawfish228

11

487

09 июл 2018, 13:45

Несложное олимпиадное уравнение для 9ых классов

в форуме Алгебра

Flutt1

7

570

22 окт 2015, 12:51

Из одной формулы в другую, олимпиадное задание 11 класс

в форуме Алгебра

Eamag

2

391

11 сен 2013, 18:47

Неравенство

в форуме Алгебра

Imaginarymath

14

740

24 сен 2015, 16:49

Неравенство

в форуме Алгебра

69kaa

1

222

09 окт 2015, 18:57

Неравенство

в форуме Алгебра

Kristinadefa

9

299

11 окт 2015, 14:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved