Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Fyodor272000 |
|
|
Вернуться к началу | ||
Rams |
|
|
Здесь я написал комментарии по геометрии и удалил, т.к. ТС подряд дал две похожие темы
|
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
От обратного пусть:
[math]\frac{ a }{ a+2b }+\frac{ b }{ b +2c}+\frac{ c }{ c+2a } < 1[/math] [math]\frac{ 3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)) }{ (a+2b)(b+2c)(c+2a) }<1[/math] [math]3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a))<(a+2b)(b+2c)(c+2a)[/math] [math]a^2b+b^2c+c^2a<3abc[/math], что при [math]a, b, c \geqslant 0[/math] не выполняется даже при [math]a=b=c[/math]. Следовательно, утверждение в условии верно. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: Fyodor272000 |
||
michel |
|
|
3axap писал(а): От обратного пусть: На самом деле это делать не нужно, достаточно (повторив те же выкладки) доказать в самом конце: [math]a^2b+b^2c+c^2a \geqslant 3abc[/math] с помощью неравенства Коши: [math]a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: 3axap, Fyodor272000 |
||
Fyodor272000 |
|
|
3axap писал(а): От обратного пусть: [math]\frac{ a }{ a+2b }+\frac{ b }{ b +2c}+\frac{ c }{ c+2a } < 1[/math] [math]\frac{ 3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)) }{ (a+2b)(b+2c)(c+2a) }<1[/math] [math]3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a))<(a+2b)(b+2c)(c+2a)[/math] [math]a^2b+b^2c+c^2a<3abc[/math], что при [math]a, b, c \geqslant 0[/math] не выполняется даже при [math]a=b=c[/math]. Следовательно, утверждение в условии верно. Спасибо вам! |
||
Вернуться к началу | ||
Daniel_T |
|
|
Я решил через неравенство Коши — Буняковского (считаем, что оно доказано, ибо входит в программу олимпиадной подготовки):
[math](a_1^2+a_2^2 +a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \geqslant (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2.[/math] Выведем из него лемму Титу. Запишем неравенство КБ для наборов [math]a_i=\dfrac{x_i}{\sqrt{y_i}}[/math] и [math]b_i=\sqrt{y_i}, \; \; i=1,2,3[/math]: [math]\left(\dfrac{x_1^2}{y_1}+\dfrac{x_2^2}{y_2}+\dfrac{x_3^2}{y_3}\right)\cdot (y_1+y_2 +y_3)\geqslant (x_1+x_2 + x_3)^2;[/math] [math]\dfrac{x_1^2}{y_1}+\dfrac{x_2^2}{y_2}+\dfrac{x_3^2}{y_3} \geqslant \dfrac{(x_1+x_2+ x_3)^2}{y_1+y_2 + y_3}.[/math] Докажем сабж: [math]\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\geqslant 1[/math] Умножим обе части каждой дроби на её числитель и применим лемму Титу: [math]\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ca} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Daniel_T "Спасибо" сказали: Fyodor272000 |
||
MihailM |
|
|
Daniel_T, верно
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: Daniel_T |
||
wrobel |
|
|
Если заметить, что левая часть неравенства -- однородная функция порядка 0 , то задача в лоб легко решается путем нахождения условных экстремумов функции на куске сферы [math]a^2+b^2+c^2=1,\quad a,b,c> 0[/math] методом множителей Лагранжа
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали: Daniel_T |
||
michel |
|
|
wrobel писал(а): методом множителей Лагранжа Это школьное, хотя и олимпиадное, неравенство! |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
мне пофиг, я математику комментирую
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали: Daniel_T |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Олимпиадное задание 7-8 кл | 2 |
325 |
26 фев 2017, 06:11 |
|
Олимпиадное задание | 16 |
1004 |
27 ноя 2014, 00:21 |
|
Ещё одно олимпиадное задание | 33 |
2002 |
27 ноя 2014, 00:23 |
|
Олимпиадное уравнение 9 класса
в форуме Алгебра |
11 |
512 |
09 июл 2018, 13:45 |
|
Несложное олимпиадное уравнение для 9ых классов
в форуме Алгебра |
7 |
605 |
22 окт 2015, 12:51 |
|
Неравенство tg(x)
в форуме Тригонометрия |
3 |
351 |
05 окт 2016, 14:39 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
4 |
344 |
06 июл 2016, 15:48 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
196 |
04 июл 2016, 15:07 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
4 |
457 |
27 июн 2016, 16:57 |
|
Неравенство
в форуме Тригонометрия |
1 |
291 |
14 янв 2016, 17:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 40 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |