Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 07 окт 2022, 10:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Daniel_T,
У нас(Болгарии), это неравенство ( [math]\frac{ x^2_{1} }{ y_{1} }+\frac{ x^2_{2} }{ y_{2} }+\frac{ x^2_{3} }{ y_{3} } \geqslant \frac{ \left( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right)^2 }{ y_{1}+y_{2}+y_{3} }[/math] ) известно как

"безименное неравенство" или ещё как "хорошее неравенство"

Изображение

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
Daniel_T
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 07 окт 2022, 16:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На самом деле , есть теоремма :
Пусть [math]p,a_{i} \geqslant 0, b_{i} > 0,i=1,2,...n[/math] действительных чисель, тогда :

[math]a)\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ a^p_{i} }{ b^{p-1}_{i} } \geqslant \frac{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \right)^{p} }{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \right)^{p-1} }[/math],когда [math]p \in \left[ 1; \infty \right)[/math] ;

[math]b)\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ a^p_{i} }{ b^{p-1}_{i} } \leqslant \frac{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \right)^{p} }{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \right)^{p-1} }[/math],когда [math]p \in \left( 0;1 \right][/math] ;

[math]c)\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ a^p_{i} }{ b^{p-1}_{i} } \geqslant \frac{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \right)^{p} }{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \right)^{p-1} }[/math],когда [math]p \in \left( - \infty ;0 \right] ,a_{i} > 0,i=1,2,...,n[/math] ;

В верхних неравенств, равенства достигается когда [math]\frac{ a_{1} }{ b_{1} } =\frac{ a_{2} }{ b_{2}}= \cdot \cdot \cdot =\frac{ a_{n} }{ b_{n} }[/math].

К сожалению доказательство, которое мне известно довольно длинное что бы изложил его здесь

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
Daniel_T
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 08 окт 2022, 08:57 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 окт 2018, 20:37
Сообщений: 25
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pirinchily писал(а):
известно как "безименное неравенство" или ещё как "хорошее неравенство"


В русскоязычной литературе тоже нет устоявшегося названия. В моём школьном учебнике оно давалось как ключевая задача без названия. «Лемма Титу» — это перевод с английского Titu's lemma, да и там названий немало, по данным английской Википедии, — Sedrakyan's inequality, Bergström's inequality, Engel's form, Titu's lemma.

А в болгарских школьных учебниках оно приводится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 08 окт 2022, 09:09 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 окт 2018, 20:37
Сообщений: 25
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я перенял это название у Игоря Яковлева. В своём сборнике неравенств он привёл комментарий:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Daniel_T "Спасибо" сказали:
Pirinchily
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 08 окт 2022, 10:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Daniel_T писал(а):
А в болгарских школьных учебниках оно приводится?


Только в специализированных учебниках для матшколый!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
Daniel_T
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 21 окт 2022, 13:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 927
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
363 раз в 341 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простое следствие из Коши: [math]\;\; \sum\limits_{1}^{n}{x_i} \sum\limits_{1}^{n}{\frac{1}{x_i}} \geqslant n^2 \;\; \Rightarrow[/math]

[math]\small{
\left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)
\left( \frac{a+2b}{a}+\frac{b+2c}{b}+\frac{c+2a}{c}\right) =

\left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)
\left( 3+ 2\frac{b}{a}+2\frac{c}{b}+2\frac{a}{c}\right) \geqslant\\

\left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} \right)
\left( 3 + 2\cdot 3 \cdot \sqrt[3\;\,]{\frac{b}{a}\frac{c}{b}\frac{a}{c}} \right) =
\left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} \right) \cdot 9
\;\geqslant\; 3^2 \;=\; 9 \;\; \Rightarrow \\
\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} \geqslant 1
}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали:
Pirinchily
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 21 окт 2022, 16:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MurChik писал(а):
Простое следствие из Коши: [math]\;\; \sum\limits_{1}^{n}{x_i} \sum\limits_{1}^{n}{\frac{1}{x_i}} \geqslant n^2 \;\; \Rightarrow[/math]


Это и из неравенство средного арифметического и средного гармонического :

[math]\frac{ a_{1} +a_{2} +a_{3} }{ 3 } \geqslant \frac{ 3 }{\frac{ 1 }{ a_{1} } + \frac{ 1 }{ a_{2} } +\frac{ 1 }{ a_{3} } } \Rightarrow \left( a_{1} +a_{2} +a_{3} \right)\left( \frac{ 1 }{ a_{1} } + \frac{ 1 }{ a_{2} } +\frac{ 1 }{ a_{3} } \right) \geqslant 9[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 29 окт 2022, 12:30 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 927
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
363 раз в 341 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pirinchily писал(а):
Это и из неравенство средного арифметического и средного гармонического :

Я имел в виду, что неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим есть прямое следствие неравенства Коши. Достаточно все [math]x_i[/math] заменить на [math]\frac{1}{x_i}[/math]:
[math]\frac{\large{\sum}{\frac{1}{x_i}}}{n} \geqslant
\sqrt[n\,\,]{ \prod{\frac{1}{x_i}} } \quad \Rightarrow \quad
\frac{n}{\large{\sum}{\frac{1}{x_i}}} \leqslant \sqrt[n\,\,]{\prod{x_i } }
\quad \Rightarrow \quad H_n \leqslant G_n \leqslant A_n,\;\;
\sum{x_i}\sum{\frac{1}{x_i}} \geqslant n^2, \;\ldots \, \,[/math]
и еще много чего следует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадное неравенство
СообщениеДобавлено: 30 окт 2022, 08:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MurChik писал(а):
Я имел в виду, что неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим есть прямое следствие неравенства Коши.

Конечно, неравенства Cauchy - это круто, но
я имел в виду, что неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим можно доказать
и без неравенства Cauchy!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиадное задание 7-8 кл

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

evgenia2104

2

325

26 фев 2017, 06:11

Олимпиадное задание

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Vorobej

16

1004

27 ноя 2014, 00:21

Ещё одно олимпиадное задание

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Vorobej

33

2002

27 ноя 2014, 00:23

Олимпиадное уравнение 9 класса

в форуме Алгебра

rawfish228

11

512

09 июл 2018, 13:45

Несложное олимпиадное уравнение для 9ых классов

в форуме Алгебра

Flutt1

7

605

22 окт 2015, 12:51

Неравенство tg(x)

в форуме Тригонометрия

DeD

3

351

05 окт 2016, 14:39

Неравенство

в форуме Алгебра

Platon

4

344

06 июл 2016, 15:48

Неравенство

в форуме Алгебра

Platon

1

196

04 июл 2016, 15:07

Неравенство

в форуме Алгебра

Llala

4

457

27 июн 2016, 16:57

Неравенство

в форуме Тригонометрия

rook185

1

291

14 янв 2016, 17:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved