Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Pirinchily |
|
|
У нас(Болгарии), это неравенство ( [math]\frac{ x^2_{1} }{ y_{1} }+\frac{ x^2_{2} }{ y_{2} }+\frac{ x^2_{3} }{ y_{3} } \geqslant \frac{ \left( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right)^2 }{ y_{1}+y_{2}+y_{3} }[/math] ) известно как "безименное неравенство" или ещё как "хорошее неравенство" |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали: Daniel_T |
||
Pirinchily |
|
|
На самом деле , есть теоремма :
Пусть [math]p,a_{i} \geqslant 0, b_{i} > 0,i=1,2,...n[/math] действительных чисель, тогда : [math]a)\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ a^p_{i} }{ b^{p-1}_{i} } \geqslant \frac{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \right)^{p} }{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \right)^{p-1} }[/math],когда [math]p \in \left[ 1; \infty \right)[/math] ; [math]b)\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ a^p_{i} }{ b^{p-1}_{i} } \leqslant \frac{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \right)^{p} }{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \right)^{p-1} }[/math],когда [math]p \in \left( 0;1 \right][/math] ; [math]c)\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ a^p_{i} }{ b^{p-1}_{i} } \geqslant \frac{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \right)^{p} }{ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \right)^{p-1} }[/math],когда [math]p \in \left( - \infty ;0 \right] ,a_{i} > 0,i=1,2,...,n[/math] ; В верхних неравенств, равенства достигается когда [math]\frac{ a_{1} }{ b_{1} } =\frac{ a_{2} }{ b_{2}}= \cdot \cdot \cdot =\frac{ a_{n} }{ b_{n} }[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали: Daniel_T |
||
Daniel_T |
|
|
Pirinchily писал(а): известно как "безименное неравенство" или ещё как "хорошее неравенство" В русскоязычной литературе тоже нет устоявшегося названия. В моём школьном учебнике оно давалось как ключевая задача без названия. «Лемма Титу» — это перевод с английского Titu's lemma, да и там названий немало, по данным английской Википедии, — Sedrakyan's inequality, Bergström's inequality, Engel's form, Titu's lemma. А в болгарских школьных учебниках оно приводится? |
||
Вернуться к началу | ||
Daniel_T |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Daniel_T "Спасибо" сказали: Pirinchily |
||
Pirinchily |
|
|
Daniel_T писал(а): А в болгарских школьных учебниках оно приводится? Только в специализированных учебниках для матшколый! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали: Daniel_T |
||
MurChik |
|
|
Простое следствие из Коши: [math]\;\; \sum\limits_{1}^{n}{x_i} \sum\limits_{1}^{n}{\frac{1}{x_i}} \geqslant n^2 \;\; \Rightarrow[/math]
[math]\small{ \left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right) \left( \frac{a+2b}{a}+\frac{b+2c}{b}+\frac{c+2a}{c}\right) = \left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right) \left( 3+ 2\frac{b}{a}+2\frac{c}{b}+2\frac{a}{c}\right) \geqslant\\ \left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} \right) \left( 3 + 2\cdot 3 \cdot \sqrt[3\;\,]{\frac{b}{a}\frac{c}{b}\frac{a}{c}} \right) = \left( \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} \right) \cdot 9 \;\geqslant\; 3^2 \;=\; 9 \;\; \Rightarrow \\ \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} \geqslant 1 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали: Pirinchily |
||
Pirinchily |
|
|
MurChik писал(а): Простое следствие из Коши: [math]\;\; \sum\limits_{1}^{n}{x_i} \sum\limits_{1}^{n}{\frac{1}{x_i}} \geqslant n^2 \;\; \Rightarrow[/math] Это и из неравенство средного арифметического и средного гармонического : [math]\frac{ a_{1} +a_{2} +a_{3} }{ 3 } \geqslant \frac{ 3 }{\frac{ 1 }{ a_{1} } + \frac{ 1 }{ a_{2} } +\frac{ 1 }{ a_{3} } } \Rightarrow \left( a_{1} +a_{2} +a_{3} \right)\left( \frac{ 1 }{ a_{1} } + \frac{ 1 }{ a_{2} } +\frac{ 1 }{ a_{3} } \right) \geqslant 9[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
MurChik |
|
|
Pirinchily писал(а): Это и из неравенство средного арифметического и средного гармонического : Я имел в виду, что неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим есть прямое следствие неравенства Коши. Достаточно все [math]x_i[/math] заменить на [math]\frac{1}{x_i}[/math]: [math]\frac{\large{\sum}{\frac{1}{x_i}}}{n} \geqslant \sqrt[n\,\,]{ \prod{\frac{1}{x_i}} } \quad \Rightarrow \quad \frac{n}{\large{\sum}{\frac{1}{x_i}}} \leqslant \sqrt[n\,\,]{\prod{x_i } } \quad \Rightarrow \quad H_n \leqslant G_n \leqslant A_n,\;\; \sum{x_i}\sum{\frac{1}{x_i}} \geqslant n^2, \;\ldots \, \,[/math] и еще много чего следует. |
||
Вернуться к началу | ||
Pirinchily |
|
|
MurChik писал(а): Я имел в виду, что неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим есть прямое следствие неравенства Коши. Конечно, неравенства Cauchy - это круто, но я имел в виду, что неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим можно доказать и без неравенства Cauchy! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Олимпиадное задание 7-8 кл | 2 |
325 |
26 фев 2017, 06:11 |
|
Олимпиадное задание | 16 |
1004 |
27 ноя 2014, 00:21 |
|
Ещё одно олимпиадное задание | 33 |
2002 |
27 ноя 2014, 00:23 |
|
Олимпиадное уравнение 9 класса
в форуме Алгебра |
11 |
512 |
09 июл 2018, 13:45 |
|
Несложное олимпиадное уравнение для 9ых классов
в форуме Алгебра |
7 |
605 |
22 окт 2015, 12:51 |
|
Неравенство tg(x)
в форуме Тригонометрия |
3 |
351 |
05 окт 2016, 14:39 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
4 |
344 |
06 июл 2016, 15:48 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
196 |
04 июл 2016, 15:07 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
4 |
457 |
27 июн 2016, 16:57 |
|
Неравенство
в форуме Тригонометрия |
1 |
291 |
14 янв 2016, 17:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |