Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство свойства натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2022, 14:51 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 янв 2015, 14:34
Сообщений: 46
Откуда: Каменск-Уральский
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо доказать, что
№1 [math]1^{2}+2^{2}+ \ldots +n^{2}=\frac{ n(n+1)(2n+1) }{ 6 }[/math]
Меня интересует именно шаг индукции.
№2 [math](1^{2}+2^{2}+ \ldots +n^{2}) + (n+1)^{2}= \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}+ (n+1)^{2}[/math]
Почему получается именно так, ведь ко всем n из №1 надо добавить 1 и должно вместо №2 получиться:
[math]\frac {(n+1)(n+2)(2n+2)}{6}[/math]
По аналогии с другим примером, а именно, чтобы доказать:
[math]1+2+ \ldots + n = \frac {n(n+1)}{2}[/math]. Здесь мы добавляем к каждой переменной n единицу и получаем:
[math]\frac {(n+1)(n+2)}{2}[/math], после чего всё сходится:
[math](1+2+ \ldots +n)+ (n+1)= \frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}= \frac {(n+2)(n+1)}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство свойства натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2022, 15:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, получится именно так, как написано во 2-й строчке, ибо:

[math]1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+2)}{6}[/math] (по индуктивному предположению), и теперь нужно добавить к обеим частям уревнения [math](n+1)^2.[/math]

А то, что вы написали - это не [math]1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2,[/math] a [math]2^2+3^2+...+(n+1)^2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство свойства натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2022, 15:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexandr K,
Вне всякого сомнения надо добавить квадрат следующего после [math]n[/math] число, а оно именно [math]\left( n+ 1\right) ^{2}[/math] !

Так, что [math]1^{2}+2^{2} + \cdot \cdot \cdot +n^{2} + \left( n+ 1\right) ^{2} = \frac{ n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right) }{ 6 } + \left( n+ 1\right) ^{2}= \frac{ \left( n+1 \right)\left( 2n^{2} +n +6n+6\right) }{ 6 } =[/math]

[math]= \frac{ \left( n+1 \right)\left( 2n^{2} +7n+6\right) }{ 6 }=\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left[ 2\left( n+1 \right) +1\right] }{ 6 }[/math] - что надо было доказать!

Потому что :
[math]2n^{2} +7n+6= \left( n+2 \right)\left( 2n+3 \right) = \left( n+2 \right)\left[ 2\left( n+1 \right) +1\right][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
Alexandr K
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Небольшое доказательство через свойства

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Vlac3

5

354

03 апр 2018, 16:19

Доказательство свойства нормировки функции плотности

в форуме Интегральное исчисление

max_kooks

0

201

30 мар 2017, 09:07

Доказательство свойства ассоциативности трёх множеств.

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

KurisuTina

3

288

22 сен 2021, 01:59

Разбиения натуральных чисел

в форуме Теория чисел

ivashenko

12

754

04 апр 2019, 17:23

Сумма натуральных чисел

в форуме Алгебра

serg10

2

190

13 сен 2019, 10:13

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Ряды

dexforint

2

439

21 мар 2016, 18:35

Во множестве A натуральных чисел содержится 1

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

leonchik

1

139

22 дек 2023, 20:16

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Sviatoslav

6

1612

05 ноя 2014, 22:36

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Nikolay_Tyan

85

1694

04 июн 2019, 20:29

Об определении множества натуральных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nikitaxc

8

414

13 дек 2017, 23:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved