Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 11:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2024, 10:57
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите ,пожалуйста, нужно вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z=x^2+y^2, x^2+y^2=8-z
помогите составить интеграл. никак не дойдет до меня

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 11:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 1088
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
436 раз в 411 сообщениях
Очков репутации: 111

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataliaaver88 писал(а):
никак не дойдет до меня


Так понятнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 11:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2024, 10:57
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите составить сам интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 11:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 1088
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
436 раз в 411 сообщениях
Очков репутации: 111

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataliaaver88 писал(а):
Помогите составить сам интеграл.

А какие у Вас есть соображения по составлению?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 11:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2024, 10:57
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот, честно, вообще никаких. Не умею составлять интегралы объема. С площадью нет проблем, с вычислением интегралов тоже. А на объем никак

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 12:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 1088
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
436 раз в 411 сообщениях
Очков репутации: 111

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataliaaver88 писал(а):
Вот, честно, вообще никаких. Не умею составлять интегралы объема. С площадью нет проблем, с вычислением интегралов тоже. А на объем никак

А что-нибудь о двойных интегралах слышали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 12:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2024, 10:57
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну по крайней мере считать их могу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 12:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 1088
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
436 раз в 411 сообщениях
Очков репутации: 111

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Nataliaaver88 писал(а):
Ну по крайней мере считать их могу

Это просто замечательно!

Тогда открываете учебник или ищете в Инете, как вычисляются объемы с помощью двойного интеграла по некоторой области. Формула исключительно простая, точно такая же, как и для вычисления площади с помощью простого интеграла.

На картинке:

Зеленый – параболоид [math]~~z=8-x^2-y^2[/math]
Сиреневый – параболоид [math]~~z=x^2+y^2[/math]
[math]G[/math] – область интегрирования [math]~~x^2+y^2\leqslant 4[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 13:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2599
Cпасибо сказано: 334
Спасибо получено:
1038 раз в 953 сообщениях
Очков репутации: 332

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataliaaver88 писал(а):
Вот, честно, вообще никаких. Не умею составлять интегралы объема. С площадью нет проблем, с вычислением интегралов тоже. А на объем никак

Интеграл на объём тела, составленного из поверхностей, я, лично, составляю так:
Выбираете некоторое направление On и проводите плоскости, перпендикулярные этому направлению. Сечение тела каждой такой плоскостью даст некоторую плоскую фигуру, площадь S_n которой вы умеете вычислять. Затем проводите вторую плоскость, отстоящую от первой на расстояние dn, и получаете срез толщиной dn. Объём dV такого среза будет dV = S_n ∙ dn. Затем берёте интеграл от dV, т.е. Int(S_n ∙ dn) по n в пределах, определяемых конкретно для каждой задачи.

В большинстве задач для школьников заданные тела имеют ось симметрии/вращения по одно из осей x, y, или z. В данном случае это z.

В случае тел симметричных относительно некоторой оси (типа как ось вращения) я, лично, составляю так:

Берёте плоскость, перпендикулярную оси симметрии/вращения (в данном случае z). Её сечение с телом будет некий срез, площадь которого S_z вы умеете считать, это будет круг или, в худшем случае, эллипс. Вторая плоскость сечения на расстоянии dz даст срез толщиной dz. Объём dV такого среза будет dV = S_z ∙ dz. Интегрируете это dV по z.

Если в сечении круг, то радиус этого круга - это изначальная функция с фиксированным значением z по оси симметрии/вращения. В данном случае радиус сечения - это корень из z или корень из (z-8), соответственно. Например, на высоте z = 4 для первой поверхности в сечени получаем круг радиусом корень из 4 = 2. А для второй поверхности, соотв., радиус будет корень из 8 - 4 = 4, т.е. тоже 2. На это высоте z = 4 они, кстати, и пересекутся. Предеды интегрирования для z, очевидно, будут от 0 до 4 для первой поверхности, и от 4 до 8 для второй поверхности.


Последний раз редактировалось ferma-T 12 апр 2024, 14:03, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 12 апр 2024, 13:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1105
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
145 раз в 141 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Объем фигуры заключенной между графиками функций [math]f,g \,\colon G\to\mathbb{R}.\quad f\ge g,\quad G\subset \mathbb{R}^2[/math]
вычисляется по формуле [math]\int_G(f-g)dxdy[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

iBuch

5

402

21 апр 2016, 13:20

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

DenZelll

5

186

03 окт 2020, 17:58

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Artem1992

11

521

04 окт 2017, 13:31

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

st1m900

3

699

28 окт 2016, 21:36

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

irenaterra16

3

212

10 авг 2020, 13:50

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

sd2380

3

282

29 авг 2020, 11:33

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Tuxedomask

9

359

15 окт 2017, 15:51

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Eli

6

429

14 янв 2018, 23:22

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Cartel

2

600

31 окт 2018, 10:28

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Ruta

5

535

30 окт 2015, 17:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved