Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Докажите, что для каждых четырех точек A, B, C и D
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2021, 21:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 авг 2021, 20:01
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что для каждых четырех точек [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] и [math]D[/math] выполняется равенство:
[math]AB^2+CD^2=BC^2+AD^2-2\vec{AC}\cdot\vec{BD}[/math]
Из определения скалярного произведения имеем [math]2\vec{AC}\cdot\vec{BD}=2AC.BD.\cos\measuredangle(\vec{AC};\vec{BD})[/math]
Я не знаю, что делать дальше. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что для каждых четырех точек A, B, C и D
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2021, 22:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6335
Cпасибо сказано: 154
Спасибо получено:
1069 раз в 1006 сообщениях
Очков репутации: 68

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возьмите произвольные точки A,B,C,D в координатах и просто проверьте это равенство расписав его в координатах

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что для каждых четырех точек A, B, C и D
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2021, 22:45 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 773
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
244 раз в 233 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Medi писал(а):
Докажите, что для каждых четырех точек [math]A,B,C,D[/math] выполняется равенство


Дальше лучше всего проверять на простом примере.
Возьмем простейшую пифагорову тройку: [math]3,4,5[/math]. Первые две цифры длины сторон прямоугольника, а [math]5[/math] - длина каждой диагонали. Тогда
[math]AB^2+CD^2=3^2+3^2=18[/math]
[math]BC^2+AD^2=4^2+4^4=32[/math]
[math]2\cdot {AC}\cdot {BD}= 2 \cdot 5 \cdot 5 = 50[/math]
Т.е видно, что выполняется несколько иное равенство, чем у вас:
[math]AB^2+CD^2+BC^2+AD^2=2\cdot {AC}\cdot {BD}[/math]

В условии задачи либо ошибка, либо на контрпримере, доказано, что это невозможно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что для каждых четырех точек A, B, C и D
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2021, 23:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для наглядности обозначим [math]\vec{AB}= \boldsymbol{a}, \,\, \vec{BC}= \boldsymbol{b}, \,\, \vec{CD}= \boldsymbol{c}[/math]
Надо доказать
[math](\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{c},\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b}.\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-2(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})[/math]

Аккуратно правую часть расписываем:
[math](\boldsymbol{b}.\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-2(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{c},\boldsymbol{c})+2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})+2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})+2(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})-2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})-2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})-2(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})-2(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{c},\boldsymbol{c})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что для каждых четырех точек A, B, C и D
СообщениеДобавлено: 01 дек 2021, 09:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7659
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
2795 раз в 2578 сообщениях
Очков репутации: 479

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}[/math]=[math]\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} \right)=BC^2+\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right) \cdot \overrightarrow{CD} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =BC^2+\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=BC^2+\frac{ AD^2-AC^2-CD^2 }{ 2 }+\frac{AC^2-AB^2-BC^2 }{ 2 }=\frac{ BC^2+AD^2-AB^2-CD^2 }{ 2}[/math].
Примечание. Использовались следующие формулы для векторного треугольника [math]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}[/math] и [math](\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} )^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=AC^2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Даны координаты четырех точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

karawella

3

751

26 дек 2015, 20:23

Все топологии на множестве X, состоящем из четырех точек

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

kojimbo

1

297

26 фев 2020, 18:52

Задача о четырёх зайцах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

380

16 июл 2017, 11:29

Формула четырёх операций

в форуме Палата №6

california

4

313

29 окт 2018, 19:03

Задача о четырёх кубах

в форуме Maple

bitango

8

242

20 мар 2024, 16:44

Система из четырех неизвестных

в форуме Алгебра

Bonaqua

6

693

24 май 2015, 02:14

Задача о четырех квадратах

в форуме Теория чисел

qwertyqaz

11

1035

31 июл 2017, 21:59

Абелева группа из четырех элементов

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

plktre

2

318

13 фев 2019, 17:31

Коммутативность группы из четырёх элементов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

____kxkxkx____

3

318

15 ноя 2018, 17:22

Вероятность цвета из четырех шаров

в форуме Теория вероятностей

Aollo

26

754

02 мар 2023, 13:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved