Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 05 авг 2022, 13:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2022, 15:49
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день! Известно, что точки A, B, E, K располагаются на одной окружности, причем EK=5, AB=12 и BE и AK пересекутся под прямым углом. Мне интересно, можно ли как-то по соображением симметрии (на окружности и внутри) найти радиус данной окружности? Я ее решил, но через теорему синусов, хочу симметрию найти, может быть она тут есть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 05 авг 2022, 14:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1101
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
301 раз в 276 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Угол между прямыми AK и BE не меняется при любом взаимном расположении хорд AB и EK (это можно доказать), так что вы эти хорды можете располагать как вам удобно - хоть параллельно (для вашей симметрии), хоть перпендикулярно, хоть с совпадающими концами (если А и Е совместить, то это как раз тоже будет перпендикулярно) - как вам будет легче решать. Например, совместите А и Е (или К и В) - тогда получится прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 из хорд. Гипотенуза будет диаметром, и её длина будет 13, т.е. радиус 13/2 = 6.5.

Или вы более широко под симметрией понимаете инвариантность угла по расположению хорд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Math137
 Заголовок сообщения: Re: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 05 авг 2022, 17:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2022, 15:49
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T
Вы все правильно поняли, дайте пожалуйста идею, о том, как доказать инвариантность угла между прямыми AK и BE, и почему если мы совместим A и E, то угол между EK и EB' будет прямым? или это следует из инварианта угла между AK и BE?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 05 авг 2022, 17:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2022, 15:49
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T
Для меня сейчас важно видеть как можно больше пространства для решения подобных задач. Хочу научиться видеть именно геометрические идеи, а не алгебраические...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 05 авг 2022, 18:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1101
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
301 раз в 276 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Math137 писал(а):
дайте пожалуйста идею, о том, как доказать инвариантность угла между прямыми AK и BE,

Доказывается очень просто. В основе док-ва лежит свойство вписанного в окружность угла, стоящего на неизменной хорде, быть неизменным. А также, что сумма углов любых треугольников одинакова (и равна 180°, но это не важно).

Углы KАE и KBE равны, ибо стоят на одной хорде КЕ. И они не будут меняться по величине при движении хорды КЕ, если хорда КЕ не будет меняться по длине.
Аналогично, углы АКВ и АЕВ. Значит и углы КDA и EDB тоже не будут меняться, ибо сумма углов треугольника всегда постоянна (и равна 180°, но это здесь не важно, чему она равна).
Далее, раз KDA не меняется, то и ADB не меняется, ибо они вместе составляют 180°. Значит и сумма углов ЕАВ + КВА тоже не меняется, ибо сумма углов треугольника постоянна.

Т.о. мы получили, ЕАВ + КВА + КАЕ + ЕВК не меняется. А эти 4 угла составляют сумму двух нижних углов треугольника АВС. Значит и третий угол этого треугольника, т.е. угол АСВ тоже не меняется, что и требовалось доказать.

Изображение

Math137 писал(а):
почему если мы совместим A и E, то угол между EK и EB' будет прямым? Или это следует из инварианта угла между AK и BE?

Да, это следует из инварианта угла между AK и BE.

Как мы только что увидели, как синюю хорду ни сдвигай по окружности, угол АСВ не будет меняться. Значит, если мы её сдвинем так, что точки А и Е совпадут, угол между хордами АК и ЕВ всё также останется равным 90°. И тогда что мы имеем: хорды 5 и 12 не поменялись, угол не поменялся, окружность мы не трогали - её радиус не поменялся.
А есть такое свойство, что если мы с концов диаметра проведём две хорды в одну любую точку на окружности, то угол между хордами будет прямой. Это как раз как в условии. Значит хорда КВ станет диаметром, и она в тоже время станет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Math137
 Заголовок сообщения: Re: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 06 авг 2022, 13:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2022, 15:49
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень хорошо! Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Соображения симметрии
СообщениеДобавлено: 12 авг 2022, 14:04 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 500
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Math137
Math137 писал(а):
дайте пожалуйста идею, о том, как доказать инвариантность угла между прямыми AK и BE

Если вы знаете формулу угла между пересекающимися хордами окружности - что этот угол равен полусумме дуг, заключенных между концами этих хорд - то эта инвариантность сразу получается из этой формулы.
И как следствие - свойство вписанного четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями: сумма квадратов его сторон равна сумме квадратов "кусочков" диагоналей до их пересечения и равна [math]8\mathsf{R}^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ось симметрии

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

__kat__s

6

164

22 апр 2020, 15:35

Движение и симметрии в многогранниках

в форуме Геометрия

nikpasternak

1

157

03 дек 2018, 17:57

Составить матрицу оператора симметрии

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ASPERIN

0

885

09 дек 2014, 22:05

Точка симметрии дробно-рациональной функции

в форуме Maple

G4ME0VER62

0

386

02 окт 2017, 13:20

Условия симметрии функции относительно точки

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

G4ME0VER62

13

1191

25 сен 2017, 14:58

Найти координату центра симметрии окружности по точкам

в форуме Геометрия

Voltara

5

512

13 ноя 2016, 20:30

Лекция «Этюды о симметрии: от индейцев Мексики до наших дней

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

4

106

23 дек 2021, 12:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved