Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 11 окт 2022, 20:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отвлечемся от построений и займемся алгеброй.
Напишем канонические уравнения окружностей c1, c2 в Декартовой системе координат:
[math]{(x - {x_{c1}})^2} + {(y - {y_{c1}})^2} = {r_{c1}}^2[/math]
(1);

[math]{(x - {x_{c2}})^2} + {(y - {y_{c2}})^2} = {r_{c2}}^2[/math]
(2).

Некоторые знают, что из (1) и (2) можно получить уравнение радикальной оси (R) окружностей, для чего просто вычитаем обе части одного уравнения из другого: [math](R) \equiv (1) - (2)[/math].
Исходя из этого возникла идея получить похожим образом уравнение обобщенной окружности Аполлония.
И вот что удалось сотворить:
[math](A) \equiv \frac{{(1) - {k^2} \cdot (2)}}{{1 - {k^2}}}[/math]
(3).

То есть, из (1) вычитаем (2), умноженное на k² и все разделим на 1- k², чтобы множители при x², y² были равны 1.
Из (3), при некотором усердии, выводится такое каноническое уравнение:
[math]{(x - {x_A})^2} + {(y - {y_A})^2} = {r_A}^2 + S[/math]
(A).

где: [math]{x_A},\;{y_A},\;{r_A}[/math] - координаты центра и радиус обычной окружности Аполлония (для точек в центре c1, c2);
- «добавка» S в правой части (А), которая может быть и отрицательной, уже зависит от радиусов окружностей c1 и c2: [math]S = \frac{{{r_{c1}}^2 -{k^2}\cdot{r_{c2}}^2}}{{1 -{k^2}}}[/math].

А теперь тем, кому данная тема не наскучила, предлагаю снова вооружиться циркулем и линейкой :x и построить обобщенную окружность Аполлония для случая:
с1 внутри с2 и [math]k = \frac{{l1}}{{l2}}= \sqrt{- 1}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Rams
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 12 окт 2022, 08:08 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 151
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
107 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Может быть я повторяю некоторые Ваши мысли. Потому, что не успел разобраться во всех канонических уравнениях по нехватке времени


Пусть [math]R, \ \ r[/math] соответственно радиусы окружностей [math]c2, \ \ c1[/math]. Координаты центров внешней и внутренней окружностей соответственно [math](0,0), \ \ (a,0)[/math]. Ясно, что расстояние между центрами равно [math]a[/math].
[math]x^{2}+y^{2}=R^{2}; \ \ (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2};[/math]
Т.к. искомая точка находится внутри окружности [math]c2[/math] при [math]k^{2}=-1[/math] получим
[math](x-a)^{2}+y^{2}-r^{2}=R^{2}-x^{2}-y^{2} \ \ \Rightarrow \\ (x-\frac{ a }{ 2 })^{2}+y^{2}=\frac{ 2·(R^{2}+r^{2})-a^{2} }{ 4 }[/math] /уравнение искомой окружности/.
Центр окружности находится в середине между центрами данных окружностей и радиус известен. /Не стал рисовать все линии, т.к. все построения стандартные. Применяется теорема Пифагора и деление отрезка пополам/.

По рисунку: Из точки [math]A[/math] окружности Аполлония проведем касательную [math]AE[/math] к внутренней окружности. Пусть эта прямая пересекает внешнюю окружность в точках [math]B[/math] и [math]C \Rightarrow AE^{2}=AB·AC[/math].

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Rams "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 12 окт 2022, 11:03 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 151
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
107 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В построении количество операции можно уменьшить. Из любой точке [math]E[/math] внутренней окружности проведем касательную и на верхнем рисунке пусть [math]EB=k, \ \ EC=m, \ \ BC=n.[/math]
Центр окружности нам известен, а точку [math]A[/math] можно найти по формуле [math]EA=\frac{ k-m + \sqrt{2n^{2}-(k-m)^{2} } }{ 4 }[/math]
Но в этом случае окружность радиуса [math]EA[/math] может пересекать [math]BC[/math] в двух точках, из которых только одна принадлежит к окружности Аполлония. Берём только пересечение с [math]EB[/math].


Последний раз редактировалось Rams 12 окт 2022, 11:23, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 12 окт 2022, 11:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rams, построение окружности выполнено верно.
А какой геометрический смысл в этом ГМТ, как можно новое задание переформулировать как чисто геометрическую задачу, без алгебры?
Наводка: что играет роль отрезка касательной l2 для наружной окружности c2, длина которого вроде как мнимая величина?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 12 окт 2022, 11:39 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 151
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
107 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Rams
А какой геометрический смысл в этом ГМТ, как можно новое задание переформулировать как чисто геометрическую задачу, без алгебры?


По моему, так: Найти все точки сумма степеней по двум окружностям равные нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 12 окт 2022, 12:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rams, верно про нулевую сумму степеней точки, но это всё таки ближе к алгебре, чем к геометрии.
Геометрически: модуль l2 равный l1, равен полудлине хорды c2, середина которой находится в точке окружности Аполлония.
Иначе говоря, надо найти ГМТ таких, что c' - окружность с центром в точке и ортогональная внутренней окружности c1, пересекается с окружностью c2 так, что их общая хорда проходит через центр c'.
Потом для наглядности нарисую чертёж, сейчас нет возможности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2022, 21:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо тема распугала, когда предложил рассмотреть мнимое значение k. Посмотрите на анимацию:
Изображение
Допустим некоторая точка M лежит внутри окружности c1. Очевидно, что касательную из M к с1 провести невозможно.
В этом случае роль «мнимой» касательной из M к c1 играет половина хорды окружности с1, середина которой находится в M.
Построение выглядит так – из O1 (центра c1) проводим отрезок до M, затем проводим луч с началом в М под углом ±90° (два варианта) к отрезку.
Длина отрезка этого луча внутри с1 и есть длина «мнимой» касательной.
Алгебраически: его длина равна модулю квадратного корня из степени точки М относительно окружности c1 (в данном случае степень отрицательна).
На рисунке ниже окружность c1 целиком окружает c2. Полухорды («мнимые» касательные к с1, с2) обозначены h, обычная касательная к c2 обозначена l.
Способ построения обобщенных окружностей Аполлония был один и тот же: сначала построен центр окружности Аполлония, затем точки на искомых окружностях.
Построение центра Ar (фиолетовой окружности) при действительном отношении k уже описано выше (совпадает с центром классической окружности Аполлония для точек O1 и O2 и отношения k).
Кроме того, выше описан простой способ построения точки окружности Аполлония, когда к c1, c2 можно провести общую касательную.

Итак, задачи для случая как на анимации:
1. Укажите способ построения центра Ai (зеленой окружности при мнимом отношении k);
2. Предложите способы построения какой-либо точки на каждой из окружностей Аполлония.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2022, 14:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
1. Укажите способ построения центра Ai (зеленой окружности при мнимом отношении k)

Ни одну из точек мнимой окружности Аполлония нельзя изобразить на чертеже, а вот ее центр Ai нарисовать можно. Предлагаю следующий способ.
На прямой O1O2 найдем точку K1, гармонически сопряженную K относительно точек O1 и O2.
Вариантов построения K1 очень много, например, на рисунке слева воспользовался свойствами трапеции ABCD, длины оснований которых относятся как k.
Проведем окружность, проходящую через центры O1 и O2 и окружность, проходящую через точки K и K1 (центры окружностей находятся в любом месте на серединных перпендикулярах к отрезкам O1O2 и KK1).
Искомый центр Ai находится на пересечении общей хорды окружностей с прямой O1O2 (смотри рисунок справа).
Изображение
Заметки:
1) Мы знаем, что центр Ar (середина отрезка KK1) всегда лежит вне отрезка O1O2, точно также, как середина отрезка O1O2 – точка O, лежит вне KK1.
В то же время, Ai всегда внутри O1O2 и KK1;
2) Мнимая окружность имеет мнимый радиус, который равен квадратному корню от степени точки Ai относительно любой из окружностей с хордами O1O2 или KK1 (степень отрицательна в силу пункта выше);
3) Особый случай k = 1 когда радиус окружности Аполлония бесконечен и точки K1, Ar бесконечно удалены. В этом случае центр мнимой окружности Аполлония совпадает с серединой отрезка O1O2;
4) Если построить окружность с диаметром KK1 (или O1O2) и любую окружность с хордой O1O2 (или KK1), то эти две окружности будут ортогональны.

Li6-D писал(а):
2. Предложите способы построения какой-либо точки на каждой из окружностей Аполлония

Один из способов построения в задаче 2 похож на способ, описанный в моем сообщении от 07.10.2022. Есть еще и другие способы…

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 10 дек 2022, 15:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Построение обобщенных окружностей Аполлония с помощью построения радикальной оси исходных непересекающихся окружностей и ортогональных окружностей

Мы уже знаем, как строить центры Ar, Ai искомых окружностей (на рисунках ниже вспомогательные линии построения центров не показаны).
Построим радикальную ось p заданных окружностей c1 и с2.
Напомню, что это прямая, в которую вырождается окружность Аполлония при k = 1.
Картинка с одним из способов построения радикальной оси с помощью ЦиЛ из темы «Директриса» двух кругов»:
Изображение
По свойствам радикальной оси, значения степеней точки P, выбранной на оси p, относительно c1 и с2 равны.
Иначе, если построить окружность cp с центром на p, которая ортогональна (пересекается под прямым углом) с одной из заданных окружностей (c1 или с2), то cp будет ортогональна и другой заданной окружности (c2 или с1).
Оказывается (докажите!), что cp будет ортогональна и искомым окружностям Аполлония, то есть для построения последних достаточно построить окружности с центрами в Ar, Ai, которые ортогональны cp:
Изображение

Еще проще случай если c1 и с2 пересекаются.
Радикальная ось p проходит через точки пересечения c1 и с2.
Окружности Аполлония тоже проводим через эти точки:
Изображение

Построение окончено, спасибо за внимание!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Обобщение задачи Аполлония

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Li6-D

0

432

10 май 2020, 11:14

Обобщение ВТФ: гипотеза

в форуме Палата №6

ivashenko

9

791

23 сен 2014, 22:59

Обобщение неравенства

в форуме Алгебра

Pirinchily

12

294

09 янв 2021, 17:46

Обобщение теории множеств

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

12

1310

17 сен 2017, 03:38

Обобщение непрерывности меры

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Gargantua

2

300

06 июл 2019, 12:22

Обобщение линейных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

timots

0

149

03 окт 2021, 21:51

Обобщение понятия первообразной для комплексных функций

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Xenia1996

2

300

24 окт 2019, 15:13

Квадраты, обобщение числа пи и таинственная гамма-функция

в форуме Теория чисел

ivashenko

4

999

01 мар 2016, 20:35

Отношение радиуса описанной окружности к радиусу окружности?

в форуме Геометрия

valeron1115

22

1157

14 май 2018, 12:15

Две окружности

в форуме Геометрия

sfanter

1

276

08 июл 2014, 13:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved