Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Li6-D |
|
|
Напишем канонические уравнения окружностей c1, c2 в Декартовой системе координат: [math]{(x - {x_{c1}})^2} + {(y - {y_{c1}})^2} = {r_{c1}}^2[/math] (1); [math]{(x - {x_{c2}})^2} + {(y - {y_{c2}})^2} = {r_{c2}}^2[/math] (2). Некоторые знают, что из (1) и (2) можно получить уравнение радикальной оси (R) окружностей, для чего просто вычитаем обе части одного уравнения из другого: [math](R) \equiv (1) - (2)[/math]. Исходя из этого возникла идея получить похожим образом уравнение обобщенной окружности Аполлония. И вот что удалось сотворить: [math](A) \equiv \frac{{(1) - {k^2} \cdot (2)}}{{1 - {k^2}}}[/math] (3). То есть, из (1) вычитаем (2), умноженное на k² и все разделим на 1- k², чтобы множители при x², y² были равны 1. Из (3), при некотором усердии, выводится такое каноническое уравнение: [math]{(x - {x_A})^2} + {(y - {y_A})^2} = {r_A}^2 + S[/math] (A). где: [math]{x_A},\;{y_A},\;{r_A}[/math] - координаты центра и радиус обычной окружности Аполлония (для точек в центре c1, c2); - «добавка» S в правой части (А), которая может быть и отрицательной, уже зависит от радиусов окружностей c1 и c2: [math]S = \frac{{{r_{c1}}^2 -{k^2}\cdot{r_{c2}}^2}}{{1 -{k^2}}}[/math]. А теперь тем, кому данная тема не наскучила, предлагаю снова вооружиться циркулем и линейкой и построить обобщенную окружность Аполлония для случая: с1 внутри с2 и [math]k = \frac{{l1}}{{l2}}= \sqrt{- 1}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Rams |
||
Rams |
|
|
Li6-D
Пусть [math]R, \ \ r[/math] соответственно радиусы окружностей [math]c2, \ \ c1[/math]. Координаты центров внешней и внутренней окружностей соответственно [math](0,0), \ \ (a,0)[/math]. Ясно, что расстояние между центрами равно [math]a[/math]. [math]x^{2}+y^{2}=R^{2}; \ \ (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2};[/math] Т.к. искомая точка находится внутри окружности [math]c2[/math] при [math]k^{2}=-1[/math] получим [math](x-a)^{2}+y^{2}-r^{2}=R^{2}-x^{2}-y^{2} \ \ \Rightarrow \\ (x-\frac{ a }{ 2 })^{2}+y^{2}=\frac{ 2·(R^{2}+r^{2})-a^{2} }{ 4 }[/math] /уравнение искомой окружности/. Центр окружности находится в середине между центрами данных окружностей и радиус известен. /Не стал рисовать все линии, т.к. все построения стандартные. Применяется теорема Пифагора и деление отрезка пополам/. По рисунку: Из точки [math]A[/math] окружности Аполлония проведем касательную [math]AE[/math] к внутренней окружности. Пусть эта прямая пересекает внешнюю окружность в точках [math]B[/math] и [math]C \Rightarrow AE^{2}=AB·AC[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Rams "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Rams |
|
|
В построении количество операции можно уменьшить. Из любой точке [math]E[/math] внутренней окружности проведем касательную и на верхнем рисунке пусть [math]EB=k, \ \ EC=m, \ \ BC=n.[/math]
Центр окружности нам известен, а точку [math]A[/math] можно найти по формуле [math]EA=\frac{ k-m + \sqrt{2n^{2}-(k-m)^{2} } }{ 4 }[/math] Но в этом случае окружность радиуса [math]EA[/math] может пересекать [math]BC[/math] в двух точках, из которых только одна принадлежит к окружности Аполлония. Берём только пересечение с [math]EB[/math]. Последний раз редактировалось Rams 12 окт 2022, 11:23, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Rams, построение окружности выполнено верно.
А какой геометрический смысл в этом ГМТ, как можно новое задание переформулировать как чисто геометрическую задачу, без алгебры? Наводка: что играет роль отрезка касательной l2 для наружной окружности c2, длина которого вроде как мнимая величина? |
||
Вернуться к началу | ||
Rams |
|
|
Li6-D писал(а): Rams А какой геометрический смысл в этом ГМТ, как можно новое задание переформулировать как чисто геометрическую задачу, без алгебры? По моему, так: Найти все точки сумма степеней по двум окружностям равные нулю. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Rams, верно про нулевую сумму степеней точки, но это всё таки ближе к алгебре, чем к геометрии.
Геометрически: модуль l2 равный l1, равен полудлине хорды c2, середина которой находится в точке окружности Аполлония. Иначе говоря, надо найти ГМТ таких, что c' - окружность с центром в точке и ортогональная внутренней окружности c1, пересекается с окружностью c2 так, что их общая хорда проходит через центр c'. Потом для наглядности нарисую чертёж, сейчас нет возможности. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Видимо тема распугала, когда предложил рассмотреть мнимое значение k. Посмотрите на анимацию:
Допустим некоторая точка M лежит внутри окружности c1. Очевидно, что касательную из M к с1 провести невозможно. В этом случае роль «мнимой» касательной из M к c1 играет половина хорды окружности с1, середина которой находится в M. Построение выглядит так – из O1 (центра c1) проводим отрезок до M, затем проводим луч с началом в М под углом ±90° (два варианта) к отрезку. Длина отрезка этого луча внутри с1 и есть длина «мнимой» касательной. Алгебраически: его длина равна модулю квадратного корня из степени точки М относительно окружности c1 (в данном случае степень отрицательна). На рисунке ниже окружность c1 целиком окружает c2. Полухорды («мнимые» касательные к с1, с2) обозначены h, обычная касательная к c2 обозначена l. Способ построения обобщенных окружностей Аполлония был один и тот же: сначала построен центр окружности Аполлония, затем точки на искомых окружностях. Построение центра Ar (фиолетовой окружности) при действительном отношении k уже описано выше (совпадает с центром классической окружности Аполлония для точек O1 и O2 и отношения k). Кроме того, выше описан простой способ построения точки окружности Аполлония, когда к c1, c2 можно провести общую касательную. Итак, задачи для случая как на анимации: 1. Укажите способ построения центра Ai (зеленой окружности при мнимом отношении k); 2. Предложите способы построения какой-либо точки на каждой из окружностей Аполлония. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
Li6-D |
|
|
Li6-D писал(а): 1. Укажите способ построения центра Ai (зеленой окружности при мнимом отношении k) Ни одну из точек мнимой окружности Аполлония нельзя изобразить на чертеже, а вот ее центр Ai нарисовать можно. Предлагаю следующий способ. На прямой O1O2 найдем точку K1, гармонически сопряженную K относительно точек O1 и O2. Вариантов построения K1 очень много, например, на рисунке слева воспользовался свойствами трапеции ABCD, длины оснований которых относятся как k. Проведем окружность, проходящую через центры O1 и O2 и окружность, проходящую через точки K и K1 (центры окружностей находятся в любом месте на серединных перпендикулярах к отрезкам O1O2 и KK1). Искомый центр Ai находится на пересечении общей хорды окружностей с прямой O1O2 (смотри рисунок справа). Заметки: 1) Мы знаем, что центр Ar (середина отрезка KK1) всегда лежит вне отрезка O1O2, точно также, как середина отрезка O1O2 – точка O, лежит вне KK1. В то же время, Ai всегда внутри O1O2 и KK1; 2) Мнимая окружность имеет мнимый радиус, который равен квадратному корню от степени точки Ai относительно любой из окружностей с хордами O1O2 или KK1 (степень отрицательна в силу пункта выше); 3) Особый случай k = 1 когда радиус окружности Аполлония бесконечен и точки K1, Ar бесконечно удалены. В этом случае центр мнимой окружности Аполлония совпадает с серединой отрезка O1O2; 4) Если построить окружность с диаметром KK1 (или O1O2) и любую окружность с хордой O1O2 (или KK1), то эти две окружности будут ортогональны. Li6-D писал(а): 2. Предложите способы построения какой-либо точки на каждой из окружностей Аполлония Один из способов построения в задаче 2 похож на способ, описанный в моем сообщении от 07.10.2022. Есть еще и другие способы… |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Построение обобщенных окружностей Аполлония с помощью построения радикальной оси исходных непересекающихся окружностей и ортогональных окружностей
Мы уже знаем, как строить центры Ar, Ai искомых окружностей (на рисунках ниже вспомогательные линии построения центров не показаны). Построим радикальную ось p заданных окружностей c1 и с2. Напомню, что это прямая, в которую вырождается окружность Аполлония при k = 1. Картинка с одним из способов построения радикальной оси с помощью ЦиЛ из темы «Директриса» двух кругов»: По свойствам радикальной оси, значения степеней точки P, выбранной на оси p, относительно c1 и с2 равны. Иначе, если построить окружность cp с центром на p, которая ортогональна (пересекается под прямым углом) с одной из заданных окружностей (c1 или с2), то cp будет ортогональна и другой заданной окружности (c2 или с1). Оказывается (докажите!), что cp будет ортогональна и искомым окружностям Аполлония, то есть для построения последних достаточно построить окружности с центрами в Ar, Ai, которые ортогональны cp: Еще проще случай если c1 и с2 пересекаются. Радикальная ось p проходит через точки пересечения c1 и с2. Окружности Аполлония тоже проводим через эти точки: Построение окончено, спасибо за внимание! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Обобщение задачи Аполлония
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
0 |
432 |
10 май 2020, 11:14 |
|
Обобщение ВТФ: гипотеза
в форуме Палата №6 |
9 |
791 |
23 сен 2014, 22:59 |
|
Обобщение неравенства
в форуме Алгебра |
12 |
294 |
09 янв 2021, 17:46 |
|
Обобщение теории множеств
в форуме Размышления по поводу и без |
12 |
1310 |
17 сен 2017, 03:38 |
|
Обобщение непрерывности меры
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
2 |
300 |
06 июл 2019, 12:22 |
|
Обобщение линейных уравнений | 0 |
149 |
03 окт 2021, 21:51 |
|
Обобщение понятия первообразной для комплексных функций | 2 |
300 |
24 окт 2019, 15:13 |
|
Квадраты, обобщение числа пи и таинственная гамма-функция
в форуме Теория чисел |
4 |
999 |
01 мар 2016, 20:35 |
|
Отношение радиуса описанной окружности к радиусу окружности?
в форуме Геометрия |
22 |
1157 |
14 май 2018, 12:15 |
|
Две окружности
в форуме Геометрия |
1 |
276 |
08 июл 2014, 13:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |