Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 04 окт 2022, 19:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости даны две окружности c1 и c2.
Для простоты положим, что они не пересекаются и не являются вложенными.
Найдите геометрическое место точек таких, что отношение длин касательных, проведённых из этих точек к c1 и c2, есть постоянное число k.

Небольшие заметки:
- если окружности имеют нулевой радиус (выродились в точки), то ГМТ представляет собой окружность Аполлония, поэтому так и назвал тему;
- при k=1 имеем прямую - радикальную ось двух окружностей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T, Glotov1, MihailM, Rams
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 07:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 151
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
107 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все обозначения на рисунке. Используем теорему о касательной и секущей.

[math]x^{2}+y^{2}-R^{2}=k^{2}((x-a)^{2}+y^{2}-r^{2}) \\ \Rightarrow
(k^{2}(x-a)^{2}-x^{2})+(k^{2}-1) y^{2}=k^{2}r^{2}-R^{2}[/math]


Похоже на эллипс, но геогебра показывает как окружность (проверил только один раз для [math]k=3, \ \ R=15,
\ \ r=10, \ \ a=50[/math]
). Но всегда ли элиппс? /Пока этот вопрос оставил в свободное время/.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Rams "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 10:31 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ГМТ - окружность. Построением легко решить следующую задачу: из произвольной точки проведены касательные к двум окружностям, длины касательных а и k*a. Построить окружность ГМТ, такую, что если из ее точек проводить касательные к заданным окружностям, их длины будут соотноситься как а и k*a. Здесь нужно просто две общие касательные поделить в том же соотношении и по трем точкам построить окружность ГМТ.
Посложнее решить задачу: даны две окружности и число k. Найти нужное ГМТ. Я это решение не успел вычертить.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 11:46 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 окт 2020, 08:01
Сообщений: 151
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
107 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rams писал(а):

[math]x^{2}+y^{2}-R^{2}=k^{2}((x-a)^{2}+y^{2}-r^{2}) \\ \Rightarrow
(k^{2}(x-a)^{2}-x^{2})+(k^{2}-1) y^{2}=k^{2}r^{2}-R^{2}[/math]


Похоже на эллипс.


Да, окружность. Дальше можно преобразовать ..., коротко

[math]\left( x-\frac{ k^{2}a }{ k^{2}-1} \right)^{2}+y^{2}=const[/math]

Отсюда видно, что при k=1 центр окружности находится в бесконечности, т.е. прямая

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Rams "Спасибо" сказали:
ferma-T, Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 12:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
Посложнее решить задачу: даны две окружности и число k. Найти нужное ГМТ. Я это решение не успел вычертить.

Именно так и формулируется задача. То, что вы описали - это не есть решение этой задачи, ибо у вас k заранее не известно. Но вы и сами там об этом сказали.

---------------------------------------

Я хотел преобразовать формулу Rams и показать, что это окружность, но сам Rams уже успел это сделать, поэтому останавливаться на этом не буду, а сразу выложу своё, покамест с использованием аналитических расчетов, построение.

Проведём общую касательную к обеим окружностям, и пусть точка К делит этот отрезок на отрезки v и w в заданной пропорции k, т.е. w/v = k.
Далее, чтобы построить искомую окружность с центром на общем диаметре, надо найти ещё одну любую точку на ней. Найдем её точку Y пересечения с вертикальной касательной y.

Из лилового треугольника имеем:
[math]x^{2} = (a+r)^{2} + y^{2}[/math]

Из серого треугольника для наклонной касательной из точки Y (чёрные точки) имеем:
[math]x^{2} - r^{2} = (ky)^{2}[/math]

Из этих двух уравнений имеем для y:

[math]y^{2} = \frac{ v^{2} }{ w^{2} - v^{2} } ((a+r)^{2} - r^{2})[/math]

Строим лиловый отрезок длиной y и откладываем его на вертикали, и получаем точку Y. По точкам К и Y строим красную окружность - искомое ГМТ.

Изображение


Последний раз редактировалось ferma-T 05 окт 2022, 13:05, всего редактировалось 5 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 12:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1
Центр обобщённой окружности Аполлония не зависит от радиусов окружностей c1, c2.
Зависит только от положения их центров и отношения k.
Это упрощает построение циркулем и линейкой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 14:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Центр обобщённой окружности Аполлония не зависит от радиусов окружностей c1, c2.

Пользуясь такой информацией, построить можно так:

Проведём общую касательную к обеим окружностям, и пусть точка К делит этот отрезок на отрезки v и w в заданной пропорции k, т.е. w/v = k.

Далее, стянем левую окружность в точку в центр. Проведём из этого центра касательную к правой окружности и построим точку Т1 в пропорции k.

Далее, из верха правой окружности пустим горизонтальную касательную. Теперь надо на ней найти такую точку Т2, чтобы расстояния от неё до верха правой окружности и до центра левой окружности относились как k. Для этого надо построить зелёную пунктирную окружность с центром в верху правной окружности и радиусом в k раз больше радиуса правой окружности. И затем провести касательную к этой зелёной пунктирной окружности из центра левой окружности.
Чтобы понять, почему точка T2 - то, что нужно, рассмотрим лиловый и зелёный прямоугольные треугольники. У их непересекающихся частей углы одинаковые и значит эти части есть подобные треугольники, и отношение коротких катетов равно отношению упомянутых выше расстояний.

Далее, по точкам T1 и Т2 строим центр искомой красной ГМТ-окружности.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 05 окт 2022, 15:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Немного подумав, всё намного проще оказалось.

Строим любые три общие касательные, делим их отрезки в пропорции k, и на этих трёх точках строим красную окружность ГМТ.

Изображение


А если провести общий диаметр, то и вообще двух общих касательных хватит.

Изображение


П.С. Кстати, построив ещё одну точку ГМТ, например как была построена точка Y в моём предпредыдущем посте, и тогда всего имея аж 6 точек ГМТ, можно геометрически (т.е. без аналитических формул) показать, что ГМТ есть окружность. Например, только у окружности все серединные перпендикуляры между любыми двумя точками из пяти (тем более, если шести) пересекаются в одной точке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Gintoki-_-, Li6-D, Rams
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 07 окт 2022, 20:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T, Rams, Glotov1 спасибо за участие в задаче.

Вариация идеи с общей касательной к окружностям.
Отрезок общей касательной делим точкой H1 в заданном отношении [math]k = \frac{{\left|{T1H1}\right|}}{{\left|{T2H1}\right|}}[/math].
Для точки H1 построим гармонически сопряженную точку H2 относительно точек T1 и T2.
Можно обойтись без циркуля – достаточно 6-ти линий полного четырёхвершинника (проведены на рисунке черным пунктиром).
Строим серединный перпендикуляр к H1H2, который пересечет общую ось окружностей с1, с2 в центре C.
Проводим искомую окружность с центром C и проходящую через H1, H2.
Изображение

Еще способ построения:
отрезок между центрами окружностей делим точкой G1 в заданном отношении [math]k = \frac{{\left|{O1G1}\right|}}{{\left|{O2G1}\right|}}[/math].
Для точки G1 построим гармонически сопряженную точку G2 относительно центров O1 и O2 (построение не показано).
Середина G1G2 – центр искомой окружности C.
К окружностям c1, c2 пристраиваем отрезки касательных, длины которых равны O1G1 и O2G1 (равные отрезки выделены толстыми линиями одного цвета).
Проводим две окружности с центрами в O1, O2 и проходящие через концы касательных P1, P2.
Пересечение этих окружностей (пунктирные на рисунке) дают две точки на искомой окружности, для которой [math]\frac{l1}{l2}=k[/math].
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T, Rams
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение окружности Аполлония
СообщениеДобавлено: 08 окт 2022, 15:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Раз уж тут накопилось такое количество вариантов построения (и это лишь малая часть всех возможных), как простых и очевидных, так и сложных и неочевидных, вот еще пара вариаций.

В своём посте здесь выше от 5 окт. 14:30 я строил на основании утверждения Li6-D: "Центр обобщённой окружности Аполлония не зависит от радиусов окружностей c1, c2". Но там я выбрал не лучший вариант - работал с горизинтальной касательной к правой окружности. Намного проще было бы работать с вертикальной касательной.

На касательной из центра левой окружности к правой окружности строим точку K' в заданной пропорции k.
Затем строим точку D на вертикальной касательной к правой окружности, имеющую пропорцию k (для этого можно использовать серые подобные треугольники). Строим центр красного искомого ГМТ с помощью срединного красного орта midK'D.

Изображение


Но не давала покоя мысль - если уж тему назвали "Обощение круга Аполлония", то можно использовать обычную окружность аполлония для какого-нибудь конкретного расположения точек.

Построим синюю окружность Аполлония для отрезка общей касательной Т1Т2 и точки К. И она в пересечении с касательной даст вторую точку K'.
В принципе, это решение в итоге аналогично первому решением Li6-D чуть выше, просто идея и подход здесь другой.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Обобщение задачи Аполлония

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Li6-D

0

432

10 май 2020, 11:14

Обобщение ВТФ: гипотеза

в форуме Палата №6

ivashenko

9

791

23 сен 2014, 22:59

Обобщение неравенства

в форуме Алгебра

Pirinchily

12

294

09 янв 2021, 17:46

Обобщение теории множеств

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

12

1310

17 сен 2017, 03:38

Обобщение непрерывности меры

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Gargantua

2

300

06 июл 2019, 12:22

Обобщение линейных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

timots

0

149

03 окт 2021, 21:51

Обобщение понятия первообразной для комплексных функций

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Xenia1996

2

300

24 окт 2019, 15:13

Квадраты, обобщение числа пи и таинственная гамма-функция

в форуме Теория чисел

ivashenko

4

999

01 мар 2016, 20:35

Отношение радиуса описанной окружности к радиусу окружности?

в форуме Геометрия

valeron1115

22

1157

14 май 2018, 12:15

Две окружности

в форуме Геометрия

sfanter

1

276

08 июл 2014, 13:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved