Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Li6-D |
|
|
Для простоты положим, что они не пересекаются и не являются вложенными. Найдите геометрическое место точек таких, что отношение длин касательных, проведённых из этих точек к c1 и c2, есть постоянное число k. Небольшие заметки: - если окружности имеют нулевой радиус (выродились в точки), то ГМТ представляет собой окружность Аполлония, поэтому так и назвал тему; - при k=1 имеем прямую - радикальную ось двух окружностей. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T, Glotov1, MihailM, Rams |
||
Rams |
|
|
Все обозначения на рисунке. Используем теорему о касательной и секущей.
[math]x^{2}+y^{2}-R^{2}=k^{2}((x-a)^{2}+y^{2}-r^{2}) \\ \Rightarrow (k^{2}(x-a)^{2}-x^{2})+(k^{2}-1) y^{2}=k^{2}r^{2}-R^{2}[/math] Похоже на эллипс, но геогебра показывает как окружность (проверил только один раз для [math]k=3, \ \ R=15, \ \ r=10, \ \ a=50[/math]). Но всегда ли элиппс? /Пока этот вопрос оставил в свободное время/. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Rams "Спасибо" сказали: Avgust |
||
Glotov1 |
|
|
ГМТ - окружность. Построением легко решить следующую задачу: из произвольной точки проведены касательные к двум окружностям, длины касательных а и k*a. Построить окружность ГМТ, такую, что если из ее точек проводить касательные к заданным окружностям, их длины будут соотноситься как а и k*a. Здесь нужно просто две общие касательные поделить в том же соотношении и по трем точкам построить окружность ГМТ.
Посложнее решить задачу: даны две окружности и число k. Найти нужное ГМТ. Я это решение не успел вычертить. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Rams |
|
|
Rams писал(а): [math]x^{2}+y^{2}-R^{2}=k^{2}((x-a)^{2}+y^{2}-r^{2}) \\ \Rightarrow (k^{2}(x-a)^{2}-x^{2})+(k^{2}-1) y^{2}=k^{2}r^{2}-R^{2}[/math] Похоже на эллипс. Да, окружность. Дальше можно преобразовать ..., коротко [math]\left( x-\frac{ k^{2}a }{ k^{2}-1} \right)^{2}+y^{2}=const[/math] Отсюда видно, что при k=1 центр окружности находится в бесконечности, т.е. прямая |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Rams "Спасибо" сказали: ferma-T, Li6-D |
||
ferma-T |
|
|
Glotov1 писал(а): Посложнее решить задачу: даны две окружности и число k. Найти нужное ГМТ. Я это решение не успел вычертить. Именно так и формулируется задача. То, что вы описали - это не есть решение этой задачи, ибо у вас k заранее не известно. Но вы и сами там об этом сказали. --------------------------------------- Я хотел преобразовать формулу Rams и показать, что это окружность, но сам Rams уже успел это сделать, поэтому останавливаться на этом не буду, а сразу выложу своё, покамест с использованием аналитических расчетов, построение. Проведём общую касательную к обеим окружностям, и пусть точка К делит этот отрезок на отрезки v и w в заданной пропорции k, т.е. w/v = k. Далее, чтобы построить искомую окружность с центром на общем диаметре, надо найти ещё одну любую точку на ней. Найдем её точку Y пересечения с вертикальной касательной y. Из лилового треугольника имеем: [math]x^{2} = (a+r)^{2} + y^{2}[/math] Из серого треугольника для наклонной касательной из точки Y (чёрные точки) имеем: [math]x^{2} - r^{2} = (ky)^{2}[/math] Из этих двух уравнений имеем для y: [math]y^{2} = \frac{ v^{2} }{ w^{2} - v^{2} } ((a+r)^{2} - r^{2})[/math] Строим лиловый отрезок длиной y и откладываем его на вертикали, и получаем точку Y. По точкам К и Y строим красную окружность - искомое ГМТ. Последний раз редактировалось ferma-T 05 окт 2022, 13:05, всего редактировалось 5 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
Glotov1
Центр обобщённой окружности Аполлония не зависит от радиусов окружностей c1, c2. Зависит только от положения их центров и отношения k. Это упрощает построение циркулем и линейкой. |
||
Вернуться к началу | ||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Центр обобщённой окружности Аполлония не зависит от радиусов окружностей c1, c2. Пользуясь такой информацией, построить можно так: Проведём общую касательную к обеим окружностям, и пусть точка К делит этот отрезок на отрезки v и w в заданной пропорции k, т.е. w/v = k. Далее, стянем левую окружность в точку в центр. Проведём из этого центра касательную к правой окружности и построим точку Т1 в пропорции k. Далее, из верха правой окружности пустим горизонтальную касательную. Теперь надо на ней найти такую точку Т2, чтобы расстояния от неё до верха правой окружности и до центра левой окружности относились как k. Для этого надо построить зелёную пунктирную окружность с центром в верху правной окружности и радиусом в k раз больше радиуса правой окружности. И затем провести касательную к этой зелёной пунктирной окружности из центра левой окружности. Чтобы понять, почему точка T2 - то, что нужно, рассмотрим лиловый и зелёный прямоугольные треугольники. У их непересекающихся частей углы одинаковые и значит эти части есть подобные треугольники, и отношение коротких катетов равно отношению упомянутых выше расстояний. Далее, по точкам T1 и Т2 строим центр искомой красной ГМТ-окружности. |
||
Вернуться к началу | ||
ferma-T |
|
|
Немного подумав, всё намного проще оказалось.
Строим любые три общие касательные, делим их отрезки в пропорции k, и на этих трёх точках строим красную окружность ГМТ. А если провести общий диаметр, то и вообще двух общих касательных хватит. П.С. Кстати, построив ещё одну точку ГМТ, например как была построена точка Y в моём предпредыдущем посте, и тогда всего имея аж 6 точек ГМТ, можно геометрически (т.е. без аналитических формул) показать, что ГМТ есть окружность. Например, только у окружности все серединные перпендикуляры между любыми двумя точками из пяти (тем более, если шести) пересекаются в одной точке. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Gintoki-_-, Li6-D, Rams |
||
Li6-D |
|
|
ferma-T, Rams, Glotov1 спасибо за участие в задаче.
Вариация идеи с общей касательной к окружностям. Отрезок общей касательной делим точкой H1 в заданном отношении [math]k = \frac{{\left|{T1H1}\right|}}{{\left|{T2H1}\right|}}[/math]. Для точки H1 построим гармонически сопряженную точку H2 относительно точек T1 и T2. Можно обойтись без циркуля – достаточно 6-ти линий полного четырёхвершинника (проведены на рисунке черным пунктиром). Строим серединный перпендикуляр к H1H2, который пересечет общую ось окружностей с1, с2 в центре C. Проводим искомую окружность с центром C и проходящую через H1, H2. Еще способ построения: отрезок между центрами окружностей делим точкой G1 в заданном отношении [math]k = \frac{{\left|{O1G1}\right|}}{{\left|{O2G1}\right|}}[/math]. Для точки G1 построим гармонически сопряженную точку G2 относительно центров O1 и O2 (построение не показано). Середина G1G2 – центр искомой окружности C. К окружностям c1, c2 пристраиваем отрезки касательных, длины которых равны O1G1 и O2G1 (равные отрезки выделены толстыми линиями одного цвета). Проводим две окружности с центрами в O1, O2 и проходящие через концы касательных P1, P2. Пересечение этих окружностей (пунктирные на рисунке) дают две точки на искомой окружности, для которой [math]\frac{l1}{l2}=k[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T, Rams |
||
ferma-T |
|
|
Раз уж тут накопилось такое количество вариантов построения (и это лишь малая часть всех возможных), как простых и очевидных, так и сложных и неочевидных, вот еще пара вариаций.
В своём посте здесь выше от 5 окт. 14:30 я строил на основании утверждения Li6-D: "Центр обобщённой окружности Аполлония не зависит от радиусов окружностей c1, c2". Но там я выбрал не лучший вариант - работал с горизинтальной касательной к правой окружности. Намного проще было бы работать с вертикальной касательной. На касательной из центра левой окружности к правой окружности строим точку K' в заданной пропорции k. Затем строим точку D на вертикальной касательной к правой окружности, имеющую пропорцию k (для этого можно использовать серые подобные треугольники). Строим центр красного искомого ГМТ с помощью срединного красного орта midK'D. Но не давала покоя мысль - если уж тему назвали "Обощение круга Аполлония", то можно использовать обычную окружность аполлония для какого-нибудь конкретного расположения точек. Построим синюю окружность Аполлония для отрезка общей касательной Т1Т2 и точки К. И она в пересечении с касательной даст вторую точку K'. В принципе, это решение в итоге аналогично первому решением Li6-D чуть выше, просто идея и подход здесь другой. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Обобщение задачи Аполлония
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
0 |
432 |
10 май 2020, 11:14 |
|
Обобщение ВТФ: гипотеза
в форуме Палата №6 |
9 |
791 |
23 сен 2014, 22:59 |
|
Обобщение неравенства
в форуме Алгебра |
12 |
294 |
09 янв 2021, 17:46 |
|
Обобщение теории множеств
в форуме Размышления по поводу и без |
12 |
1310 |
17 сен 2017, 03:38 |
|
Обобщение непрерывности меры
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
2 |
300 |
06 июл 2019, 12:22 |
|
Обобщение линейных уравнений | 0 |
149 |
03 окт 2021, 21:51 |
|
Обобщение понятия первообразной для комплексных функций | 2 |
300 |
24 окт 2019, 15:13 |
|
Квадраты, обобщение числа пи и таинственная гамма-функция
в форуме Теория чисел |
4 |
999 |
01 мар 2016, 20:35 |
|
Отношение радиуса описанной окружности к радиусу окружности?
в форуме Геометрия |
22 |
1157 |
14 май 2018, 12:15 |
|
Две окружности
в форуме Геометрия |
1 |
276 |
08 июл 2014, 13:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |