Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
tata00tata |
|
|
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]\leqslant[/math] 1 Понимаю, что верно для n=1 Предположим, что верно для n=k [math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]\leqslant[/math] 1 и докажем, что верно для n=k+1 [math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]\leqslant[/math] 1 понятно, что можно разложить сумму степени на произведение, косинус по тождесту на синус, но это ни к чему не приводит.. подскажите пожалуйста.. |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
А можно без индукции?
[math]\left( \sin{x} \right)^{2n}+\left( \cos{x} \right)^{2n}=\left( \sin^2{x} \right)^{n}+\left( \cos^2{x} \right)^n=\frac{\left( 1-\cos{2x}\right)^n+\left( 1+\cos{2x}\right)^n}{2^n}.[/math] Обозначим [math]\cos{2x}=a; -1 \leqslant a \leqslant 1.[/math] Тогда получим [math]\frac{\left( 1-a \right)^n+\left( 1+a \right)^n}{2^n}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}+\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^na^{n-k}}{2^n} \leqslant \frac{2\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k} }{2^n}.[/math] В последней сумме суммирование идет только по четным k. Можно показать, что эта сумма равна [math]2^{n-1},[/math] таким образом, последнее выражение равно 1, что и доказывает утверждение. |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Можно немного проще:
Обозначим [math]\sin^2{x}=a.[/math] Тогда [math](\sin{x})^{2n}+(\cos{x})^{2n}=a^n+(1-a)^n,[/math] при этом [math]0 \leqslant a=\sin^2{x} \leqslant 1.[/math] [math]a^n+(1-a)^n=f(a).[/math] Ищем точки экстремума: [math]f'(x)=na^{n-1}-n(1-a)^{n-1}=0,[/math] откуда единственный минимум при [math]a=\frac{1}{2}[/math] и [math]f\left( \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^{n-1} }<1.[/math] А максимальные значения функция [math]f(a)[/math] принимает на границе отрезка: [math]f(0)=f(1)=1.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Bloodhound |
|
|
[math]a^y \leqslant a^x[/math] при [math]0<a<1, \,\, y \geqslant x[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
tata00tata писал(а): Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ А кто такой Ми? |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
МИ - математическая индукция
|
||
Вернуться к началу | ||
MurChik |
|
|
[math]n \geqslant 2 \\
\sin^n x + \cos^n x \leqslant |\sin^n x + \cos^n x| \leqslant |\sin x|^n+|\cos x|^n= \\ |\sin x|^{n-2}\sin^2 x + |\cos x|^{n-2}\cos^2 x \leqslant \sin^2 x + \cos^2 x =1[/math] Дополнительно для [math]n=2k[/math]: [math]\sin^{2k}x + \cos^{2k}x \geqslant 2\sqrt{\sin^{2k}x\cos^{2k}x}= 2|\sin x\cos x|^k = \frac{|\sin{2x}|^k}{2^{\,k-1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2^{\,k-1}} \leqslant \sin^{2k}x + \cos^{2k}x \leqslant 1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Radley |
|
|
tata00tata писал(а): Здравствуйте уважаемые участники форума! [math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]\leqslant[/math] 1 Понимаю, что верно для n=1 Предположим, что верно для n=k [math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]\leqslant[/math] 1 и докажем, что верно для n=k+1 [math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]\leqslant[/math] 1 понятно, что можно разложить сумму степени на произведение, косинус по тождесту на синус, но это ни к чему не приводит.. подскажите пожалуйста.. Пробуем преобразовать дальше. [math]\left( sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha \right) \left( sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \right ) - sin^{2} \alpha cos^{2k} \alpha -sin^{2k} \alpha cos^{2} \alpha \leqslant 1[/math] [math]\left( sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \right ) \leqslant 1 + sin^{2} \alpha cos^{2k} \alpha + sin^{2k} \alpha cos^{2} \alpha,\left( sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \right ) \leqslant 1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |