Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 19:38 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 сен 2019, 13:22
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте уважаемые участники форума!
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]\leqslant[/math] 1

Понимаю, что верно для n=1
Предположим, что верно для n=k
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]\leqslant[/math] 1
и докажем, что верно для n=k+1
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]\leqslant[/math] 1
понятно, что можно разложить сумму степени на произведение, косинус по тождесту на синус, но это ни к чему не приводит..
подскажите пожалуйста..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 22:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно без индукции?

[math]\left( \sin{x} \right)^{2n}+\left( \cos{x} \right)^{2n}=\left( \sin^2{x} \right)^{n}+\left( \cos^2{x} \right)^n=\frac{\left( 1-\cos{2x}\right)^n+\left( 1+\cos{2x}\right)^n}{2^n}.[/math]

Обозначим [math]\cos{2x}=a; -1 \leqslant a \leqslant 1.[/math] Тогда получим

[math]\frac{\left( 1-a \right)^n+\left( 1+a \right)^n}{2^n}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}+\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^na^{n-k}}{2^n} \leqslant \frac{2\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k} }{2^n}.[/math]

В последней сумме суммирование идет только по четным k. Можно показать, что эта сумма равна [math]2^{n-1},[/math] таким образом, последнее выражение равно 1, что и доказывает утверждение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 23:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно немного проще:
Обозначим [math]\sin^2{x}=a.[/math] Тогда [math](\sin{x})^{2n}+(\cos{x})^{2n}=a^n+(1-a)^n,[/math] при этом [math]0 \leqslant a=\sin^2{x} \leqslant 1.[/math]

[math]a^n+(1-a)^n=f(a).[/math] Ищем точки экстремума: [math]f'(x)=na^{n-1}-n(1-a)^{n-1}=0,[/math] откуда единственный минимум при [math]a=\frac{1}{2}[/math] и [math]f\left( \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^{n-1} }<1.[/math] А максимальные значения функция [math]f(a)[/math] принимает на границе отрезка: [math]f(0)=f(1)=1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 10:36 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
17 апр 2020, 10:40
Сообщений: 155
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
56 раз в 48 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a^y \leqslant a^x[/math] при [math]0<a<1, \,\, y \geqslant x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 14:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
tata00tata писал(а):
Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ

А кто такой Ми? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 24 сен 2022, 18:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
МИ - математическая индукция

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 26 окт 2022, 12:53 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 926
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
363 раз в 341 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]n \geqslant 2 \\
\sin^n x + \cos^n x \leqslant |\sin^n x + \cos^n x| \leqslant |\sin x|^n+|\cos x|^n= \\

|\sin x|^{n-2}\sin^2 x + |\cos x|^{n-2}\cos^2 x \leqslant \sin^2 x + \cos^2 x =1[/math]


Дополнительно для [math]n=2k[/math]:
[math]\sin^{2k}x + \cos^{2k}x \geqslant 2\sqrt{\sin^{2k}x\cos^{2k}x}=
2|\sin x\cos x|^k = \frac{|\sin{2x}|^k}{2^{\,k-1}} \quad \Rightarrow \quad
\frac{1}{2^{\,k-1}} \leqslant \sin^{2k}x + \cos^{2k}x \leqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ
СообщениеДобавлено: 26 окт 2022, 16:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
tata00tata писал(а):
Здравствуйте уважаемые участники форума!
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2n}[/math] [math]\leqslant[/math] 1

Понимаю, что верно для n=1
Предположим, что верно для n=k
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k}[/math] [math]\leqslant[/math] 1
и докажем, что верно для n=k+1
[math]\left( \sin{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]+[/math] [math]\left( \cos{ \alpha } \right)[/math][math]^{2k+2}[/math] [math]\leqslant[/math] 1
понятно, что можно разложить сумму степени на произведение, косинус по тождесту на синус, но это ни к чему не приводит..
подскажите пожалуйста..



Пробуем преобразовать дальше.

[math]\left( sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha \right) \left( sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \right ) - sin^{2} \alpha cos^{2k} \alpha -sin^{2k} \alpha cos^{2} \alpha \leqslant 1[/math]

[math]\left( sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \right ) \leqslant 1 + sin^{2} \alpha cos^{2k} \alpha + sin^{2k} \alpha cos^{2} \alpha,\left( sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \right ) \leqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство неравенства методом мат индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

DIRID

3

429

18 сен 2017, 10:24

Доказательство неравенства

в форуме Алгебра

VladGreen

5

336

15 июл 2018, 21:25

Доказательство неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

RamonaFlow

3

247

08 дек 2021, 12:55

Доказательство неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Maik

2

317

04 мар 2020, 15:50

Доказательство неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

RamonaFlow

1

193

05 дек 2021, 15:14

Доказательство неравенства норм

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

warmspringwinds

1

529

19 сен 2015, 22:46

Доказательство иррационального неравенства

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

zakharova-forum

1

244

12 июл 2020, 16:05

Доказательство для решения неравенства

в форуме Теория чисел

yuriy

25

1228

23 апр 2015, 18:52

Доказательство неравенства Бернулли

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Kranker

6

645

15 авг 2019, 19:52

Доказательство неравенства с 3 неизвестными

в форуме Алгебра

MathRandom

1

172

16 фев 2020, 16:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved