Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 11:22 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 апр 2020, 22:50
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если число k - собственное значение ортогонального оператора, то k = [math]+ -[/math] 1, а как можно доказать, что если собственные значения самосопряженного оператора это [math]+ -[/math] 1, то он ортогональный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 11:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
никак

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 13:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
New user писал(а):
а как можно доказать, что если собственные значения самосопряженного оператора это [math]+ -[/math] 1, то он ортогональный?

Я думаю, что можно начать с того, что попробуйте доказать, что существует ортогональный нормированный базис, в котором матрица этого оператора (и его сопряжённого) будет иметь диагональный вид. Причём на диагонали будут располагаться [math]\pm 1[/math] . Затем попробуйте найти матрицу произведения этого оператора на его сопряжённый.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
New user
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 01 июн 2022, 13:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 апр 2020, 22:50
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
никак


Все оказалось несложно. Диагонализируем матрицу, умножаем ее на транспонированную, получаем единичную - матрица ортогональна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 01 июн 2022, 13:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 апр 2020, 22:50
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
New user писал(а):
а как можно доказать, что если собственные значения самосопряженного оператора это [math]+ -[/math] 1, то он ортогональный?

Я думаю, что можно начать с того, что попробуйте доказать, что существует ортогональный нормированный базис, в котором матрица этого оператора (и его сопряжённого) будет иметь диагональный вид. Причём на диагонали будут располагаться [math]\pm 1[/math] . Затем попробуйте найти матрицу произведения этого оператора на его сопряжённый.


ну или на транспонированный ( хотя неважно) . А как можно доказать, что вообще существует такой базис? Разве нельзя считать, что у сопряженного оператора базис всегда можно собрать из его собственных векторов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 01 июн 2022, 13:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
New user писал(а):
Все оказалось несложно. Диагонализируем матрицу, умножаем ее на транспонированную, получаем единичную - матрица ортогональна.

Да все верно, это я оплошал. Не заметил, что рассматриваем самосопряженный оператор

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 01 июн 2022, 19:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
New user писал(а):
А как можно доказать, что вообще существует такой базис?

В учебниках расписано.
New user писал(а):
Разве нельзя считать, что у сопряженного оператора базис всегда можно собрать из его собственных векторов?

Почему нельзя? Можно. (Только у самосопряжённого оператора).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 01 июн 2022, 22:05 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 апр 2020, 22:50
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
New user писал(а):
А как можно доказать, что вообще существует такой базис?

В учебниках расписано.
New user писал(а):
Разве нельзя считать, что у сопряженного оператора базис всегда можно собрать из его собственных векторов?

Почему нельзя? Можно. (Только у самосопряжённого оператора).


а почему только у него?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 02 июн 2022, 07:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
New user писал(а):
а почему только у него?

Что только у него?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональный и самосопряженный оператор
СообщениеДобавлено: 02 июн 2022, 23:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 апр 2020, 22:50
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
New user писал(а):
а почему только у него?

Что только у него?


почему только у него можно собрать базис из собственных векторов? какое свойство даёт ему такую возможность?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Самосопряженный оператор

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

lexangross51

0

116

30 мар 2020, 10:29

Докажите, что оператор А самосопряженный

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

jnow

0

147

14 май 2020, 15:58

Ортогональный базис образа оператора. Линейный оператор

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

BombuSS

0

247

14 июн 2021, 18:53

Ортогональный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

tanyhaftv

0

220

20 авг 2018, 00:19

Найти ортогональный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasiia

0

408

08 дек 2015, 00:13

Элемент ортогональный прочим элементам

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Chek

2

144

22 май 2018, 13:32

Найти столбец ортогональный вектору

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

uiiiiiii

4

435

25 фев 2021, 19:12

Найти ортогональный базис для подпространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

CruelShadow

13

1033

11 мар 2018, 17:55

Построить ортогональный базис и ортонормированный

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alecsand1232342

11

1195

06 дек 2017, 03:49

Найти ортогональный базис пространства U

в форуме Геометрия

Melham

15

485

03 июл 2023, 10:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved