Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 24 май 2023, 20:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 май 2023, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.

Прошу подсказать, куда двигаться. Понадобилось восстановить знания теормеха и необходимо мне найти зависимость угла поворота от времени [math]f(t) = \varphi[/math]

Для этого, как мне кажется, необходимо проинтегрировать две части уравнения:

[math]\frac{d^{2} \varphi }{ \varphi }[/math] = [math]dt^{2}[/math]

С правой частью мне вроде понятно: [math]\frac{ t^{3} }{ 3 }+C[/math],
а вот с левой - остаточных знаний математики не хватает, да и что-то не могу загуглить...

Нужно два раза интегрировать уравнение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 24 май 2023, 21:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7661
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
2796 раз в 2579 сообщениях
Очков репутации: 479

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gliese581c писал(а):
Нужно два раза интегрировать уравнение?

Да, поэтому, что Вы написали выше с интегрированием правой части, является неверным.
Уравнение второго порядка нельзя сразу привести к отдельным дифференциалам.
Если я правильно понял, у Вас задано уравнение:[math]\varphi ''= \varphi[/math]?
И какие начальные условия ещё заданы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 24 май 2023, 21:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 май 2023, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, уравнение к которому я пришёл выглядит так: [math]\varphi '' = a\varphi[/math]

Я попытался разложить [math]\varphi '' = \frac{ d^{2} \varphi }{ dt^{2} }[/math]

Есть условия начального положения угла и начальной угловой скорости.

Видимо нужно было решить дифференциальное уравнение второго порядка, а не раскладывать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 24 май 2023, 21:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7661
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
2796 раз в 2579 сообщениях
Очков репутации: 479

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уравнения типа [math]\varphi ''-k^2 \varphi =0[/math] решаются по стандартному алгоритму через характеристическое уравнение: [math]\lambda ^2-k^2=0[/math] с корнями [math]\lambda _{1,2}= \pm k[/math], что приводит к следующему общему решению: [math]\varphi (t)=C_1e^{kt}+C_2e^{-kt}[/math]. Дальше надо подставлять начальные условия для [math]\varphi[/math] и её первой производной...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Gliese581c
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 24 май 2023, 21:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 май 2023, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, я уже читаю как решать такие диффуры (да и калькулятор нашёл).

И вот ещё вопрос возник.

А что если представить [math]\varphi ''[/math] как [math]\frac{ d \omega }{ dt }[/math], тогда получиться следующее:

[math]\frac{ d \omega }{ dt } = a \varphi[/math]

[math]d \omega = a \varphi dt[/math]

Тогда [math]\omega =a \varphi t + C[/math] или, так как [math]\varphi[/math] функция от t, то так нельзя делать?

Прошу прощения, если этот момент выходит за рамки математики...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 24 май 2023, 22:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7661
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
2796 раз в 2579 сообщениях
Очков репутации: 479

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gliese581c писал(а):
то так нельзя делать?

Совершенно правильно заметили, потому что [math]\varphi[/math] является не постоянной величиной, а функцией времени, к тому же неизвестной, чтобы её сразу можно было проинтегрировать справа!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 25 май 2023, 07:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 1156
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
466 раз в 441 сообщениях
Очков репутации: 111

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно так сделать.

[math]\frac{d\varphi}{dt}=\omega(\varphi)\quad \Rightarrow \quad[/math][math]\frac{d^2\varphi}{dt^2} =\frac{d\omega}{dt}=\frac{d\omega}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=
\omega\frac{d\omega}{d\varphi} \quad \Rightarrow \quad
\omega\frac{d\omega}{d\varphi}=a\varphi \quad \Rightarrow \quad
\omega d\omega=a\varphi d\varphi \quad \Rightarrow \quad
\omega^2=a\varphi^2+C_1[/math]


[math]\omega=\sqrt{a\varphi^2+C_1} \quad \Rightarrow \quad
\frac{d\varphi}{dt}=\sqrt{a\varphi^2+C_1} \quad \Rightarrow \quad
dt=\frac{d\varphi}{\sqrt{C_1+a\varphi^2}} \quad \Rightarrow \quad
t=\int{\frac{d\varphi}{\sqrt{C_1+a\varphi^2}}}+C_2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали:
Gliese581c
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения
СообщениеДобавлено: 25 май 2023, 16:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 май 2023, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MurChik писал(а):
Можно так сделать.

[math]\frac{d\varphi}{dt}=\omega(\varphi)\quad \Rightarrow \quad[/math][math]\frac{d^2\varphi}{dt^2} =\frac{d\omega}{dt}=\frac{d\omega}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=
\omega\frac{d\omega}{d\varphi} \quad \Rightarrow \quad
\omega\frac{d\omega}{d\varphi}=a\varphi \quad \Rightarrow \quad
\omega d\omega=a\varphi d\varphi \quad \Rightarrow \quad
\omega^2=a\varphi^2+C_1[/math]


[math]\omega=\sqrt{a\varphi^2+C_1} \quad \Rightarrow \quad
\frac{d\varphi}{dt}=\sqrt{a\varphi^2+C_1} \quad \Rightarrow \quad
dt=\frac{d\varphi}{\sqrt{C_1+a\varphi^2}} \quad \Rightarrow \quad
t=\int{\frac{d\varphi}{\sqrt{C_1+a\varphi^2}}}+C_2[/math]


Да, спасибо! Именно так и решается. Я только что набрел на данный способ решение всех задач такого типа. Я уж с горя пытался решить через кинетическую энергию, но так как там выходили функции, тоже надо было интегрировать.

Хотел было закрыть эту тему, написав, что нужно добавить [math]\frac{ d \varphi }{ d \varphi }[/math], а вы уже всё написали за меня.

Вот вам в благодарность математический анекдот, может не знаете, мне показался хорошим...

▼ Анекдот
Рабочий роет котлован, гнёт об породу инструмент. Вот какая неудачная ситуация, думает, отковыривает кусок породы и даёт бригадиру:
— Вот об эту елду, Кузьмич, инструмент сломал, туды её в качель.
— Странно! Вроде должон инструмент всё молоть!
Бригадир приходит к инженеру и говорит:
— Михаил Максимыч, мы тут при ройке котлована, об эту руду инструмент погнули. Примите меры, а то не можем инструментом рисковать.
— Странно, по спецификациям инструмент должен быть крепче!
Приносит инженер кусок породы физику и говорит:
— Посмотрите, Геннадий Саввович, что это за руда крепче стального сплава №ххх с алмазным покрытием.
— Странно! Судя по пористой структуре эта порода должна быть очень хрупкой!
Подходит физик к теоретику:
— Герман, а как это может фрактальная сводчатая микроструктура оксида металла сопровождаться сильно плотным электронным распределением электронов связи типа так, что атомы связываются крепче чем в кристалле алмаза?
— Странно! В работе N в семидесятых было показано, что блоховское решение для случая квазипериодической решётки, к которой NN свёл фрактальную структуру, реализует квазинепрерывную плотность состояний Zagge для тетраэдрических решёток!
Идёт теоретик к математику спрашивает:
— Слушай, Саня, а разве учёт членов выше третьего порядка может привести к появлению серии решений уравнения NNN в случае NNNN с нелинейной правой частью?
— Да, там есть такой вариант, если асимптотически третье слагаемое стремится к нулю на бесконечности не хуже чем минус вторая степень.
— Ааа, Гена как раз и говорил, что там дисперсия пор нетипично узкая. Понятно, спасибо.
Ловит теоретик физика в коридоре и объясняет:
— Если дисперсия пор невелика, то фрактальная пористая структура сводится к тетраэдрической сингонии квазикристалла, а не к гексагональной.
— Ааа, то есть мы тут имеем дело с губками первого рода. Понятно, пустим проект алмазного покрытия NNNNN, они достаточно крепкие должны быть.
Рассказывает физик инженеру:
— Мы тут доработали алмазное покрытие, должно теперь эту породу брать. Вот вам несколько опытных образцов, опробуйте.
— А что это за руда была?
— Да там поры мелкие слишком.
— Ааа, то есть просто своды крепче. Понятно, ну пока этим подолбим.
Отдаёт инженер бригадиру новый инструмент:
— Иван Кузьмич, вот новый инструмент, его лучше покрыли.
— Ааа, так там просто покрытие плохое было! Спасибо, а то я за сохранность инструмента не могу отвечать, когда его чёрти–как покрывают.
Даёт бригадир рабочему инструмент:
— Держи, на этот инструмент покрышки не скупили.
— Ааа, так там просто жиды полировку пожалели! Эх, развалили страну

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегрирование уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Gargantua

4

310

08 янв 2016, 13:34

Решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Matemat121212

1

423

07 июн 2015, 12:27

Решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

distvamp

2

481

08 фев 2017, 15:32

Исследование дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Vasya_VS

1

320

15 дек 2018, 16:54

Решение Дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Brodyga12388

7

392

28 дек 2022, 22:49

Линеаризация дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальное исчисление

Knyazhskiy

0

354

20 июл 2016, 18:08

Решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Matemat121212

1

374

07 июн 2015, 12:24

Решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

PavelFedorov

3

260

17 янв 2022, 19:35

Решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Matemat121212

0

254

07 июн 2015, 12:25

АС для решения дифференциального уравнения

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

katyachad96

0

320

19 дек 2015, 14:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved