Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 12:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2022, 12:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые математики! Специально создал учётную запись, чтобы попросить помощи с решением задачи методом множителей Лагранжа. Условие следующее: f(x,y)=x+y, ограничивающее условие fi(f,x)=1/x^2+1/y^2-1/2. При решении нашёл ответ, включающий две точки: минимум M1(2;2) при lambda=4 и максимум M2(-2;-2) при lambda=-4. f(x;y) в этих точках равняется, соответственно: 4 и -4. Решение подробное могу предоставить, хотя оно довольно простое. Смущает ответ, каким образом минимум функции может быть больше максимума? Возможно, я не до конца понимаю математический смысл метода множителей Лагранжа? Проверку сделал, всё никак не могу понять. В пособии точка M2 указана в качестве ответа. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 13:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9085
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
1657 раз в 1570 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathlife писал(а):
Условие следующее: f(x,y)=x+y, ограничивающее условие fi(f,x)=1/x^2+1/y^2-1/2.

А что найти надо?
mathlife писал(а):
При решении нашёл ответ, включающий две точки: минимум M1(2;2)

Как вы определили, что это минимум?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 13:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2022, 12:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher

Прилагаю фотографии решения. Если кратко, найдя дифференциал второго порядка функции, являющейся суммой f(x,y) и ограничивающего условия, далее сравнив его с 0.
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 14:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9085
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
1657 раз в 1570 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathlife писал(а):
Прилагаю фотографии решения.

Как-то фотографии не очень понял. Вы бы не могли словами ответить на заданные вопросы?
Если что, то:
Во-первых, если второй дифференциал положительный, то это будет минимум (локальный).
Во-вторых, нам вообще не второй дифференциал нужен, а только лишь его ограничение. Смотрите теорию. Но в данном конкретном случае это может роли не играть. Тут как получится. Если второй дифференциал положительный, то и его ограничение положительно.
В-третьих, вы не ответили на вопрос:
searcher писал(а):
А что найти надо?

Если вы ищите глобальные минимумы и максимумы функции, то подозреваю, что в нашей задаче их нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 19:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2022, 12:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher

Задача заключается в том, чтобы найти минимум и максимум функции методом Лагранжа. Дело в том, что в пособии (Лунгу-Макаров "Высшая математика" ч.1) указан только один ответ: максимум M2(-2;-2) при lambda=-4. Однако, решая по описанному в пособии алгоритму, я нашёл два ответа (учитывая то, что это не первый случай, ничего экстраординарного). В тоже время, как бы сказать, геометрически мне не совсем ясен смысл метода Лагранжа и поэтому я не в состоянии до конца осмыслить, как максимум функции может быть меньше минимума. То есть, я понимаю, что в случае с экстремумами это возможно, однако лишь на интуитивном уровне, в случае с описанной задачей. Изначально, создавая тему, я хотел убедиться, что мой ответ является верным и после разбираться, почему это так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 21:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3139
Cпасибо сказано: 217
Спасибо получено:
961 раз в 826 сообщениях
Очков репутации: 270

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поскольку задача в 3D, полезно рассмотреть графики заданных функций. И дополнительно плоскость x-y=0.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 21:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9085
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
1657 раз в 1570 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathlife писал(а):
Дело в том, что в пособии (Лунгу-Макаров "Высшая математика" ч.1) указан только один ответ: максимум M2(-2;-2) при lambda=-4

Там опечатка.
mathlife писал(а):
В тоже время, как бы сказать, геометрически мне не совсем ясен смысл метода Лагранжа

Тут надо читать более продвинутые книги.
mathlife писал(а):
я не в состоянии до конца осмыслить, как максимум функции может быть меньше минимума.

Во-первых, в вашем случае это не так.
Во-вторых, оно конечно такое может быть. Но для этого достаточно лишь осмыслить, что такое максимум и минимум функции в том смысле, как это определено в вашем пособии. Часто используют и другую терминологию - локальный (глобальный) минимум (максимум).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 21:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 4778
Cпасибо сказано: 102
Спасибо получено:
844 раз в 796 сообщениях
Очков репутации: 68

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathlife писал(а):
То есть, я понимаю, что в случае с экстремумами это возможно, однако лишь на интуитивном уровне, в случае с описанной задачей

Тут ничего особенно сложного нет, для понимания можно выразить из условия y через х и подставить в функцию, получится вот такой графикИзображение
Чему у нее равен минимум и максимум?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 21:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9085
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
1657 раз в 1570 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathlife писал(а):
Дело в том, что в пособии (Лунгу-Макаров "Высшая математика"

Я посмотрел эту книгу. Она очень поверхностная. Ничего толком не объяснено (по крайней мере по данной теме).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 17 июл 2022, 21:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9085
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
1657 раз в 1570 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Во-первых, в вашем случае это не так.
Во-вторых, оно конечно такое может быть

Тут я затупил. И в вашем случае это именно так. То есть минимум больше максимума.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод множителей Лагранжа

в форуме Алгебра

DanyaRRRR

11

1271

01 янв 2018, 01:39

Принцип множителей лагранжа

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

momus

2

506

11 янв 2014, 01:48

Метод множителей Лагранжа

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Promix

2

1143

15 май 2013, 20:58

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

в форуме Дифференциальное исчисление

Rostislav

0

357

15 фев 2015, 14:53

Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

K1b0rg

6

344

23 фев 2020, 01:36

Канонический вид методом Лагранжа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Jim

0

378

29 май 2014, 14:50

ЛНДУ 2 порядка методом Лагранжа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fugooo

2

148

18 мар 2019, 13:17

Решить методом Лагранжа и Якоби

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

shadow123

1

273

04 июн 2015, 22:30

Канонический вид квадратичной формы методом Лагранжа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

HellDiablo322

1

98

10 май 2019, 18:22

Привести квадратическую форму методом Лагранжа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Avrora

5

308

16 фев 2016, 17:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved