Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 14 апр 2022, 14:42 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я в проекте Эйлера нашел задачу:
http://euler.jakumo.org/problems/view/785.html

Имеется диофантово уравнение:
[math]15(x^2 + y^2 + z^2) = 34(xy + yz +zx)[/math]
[math]gcd(x,y,z) = 1[/math]
[math]1 < x < y < z < N[/math]
Для N=100 имеются 3 решения:
[math](1,7,16)[/math]
[math](8,9,39)[/math]
[math](11,21,72)[/math]
Предлагается найти все решения для N=1000000000
Я нашел для N=1000, что решений 38
Но дальше перебор работать перестает
Как решаются такие задачи ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 14 апр 2022, 18:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для начала я бы привел уравнение к сумме/разности квадратов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 15 апр 2022, 09:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
27 апр 2018, 20:01
Сообщений: 220
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g писал(а):
Я в проекте Эйлера нашел задачу:
http://euler.jakumo.org/problems/view/785.html

Имеется диофантово уравнение:
[math]15(x^2 + y^2 + z^2) = 34(xy + yz +zx)[/math]



Как решаются такие задачи ?



Задача вроде кажется простой... но там столько разных формул вылезло... пиши и пиши... пиши и пиши.
Дело в том, что сами коэффициенты могут быть выражены через решение уравнений. Например через решения уравнений Пелля или там каких то других уравнений.
А уже эти наборы решений задают формулы решений других уравнений... я даже назвал это уравнение самым капризным...
Есть несколько серий решений для каких то коэффициентов... а есть общая формула.
Там надо правда будет искать эквивалентные формы которые могли бы показать есть ли решения....

Так, что задали вопрос который выдаёт такое немеренное количество вариантов... ответ на который точно не понравиться.
Ну вот и формулы...

https://mathoverflow.net/questions/208158/isotropic-ternary-forms/208494#208494
https://mathoverflow.net/questions/225781/fricke-klein-method-for-isotropic-ternary-quadratic-forms/225995#225995

https://math.stackexchange.com/questions/2773097/how-to-find-all-rational-solutions-of-x2-3y2-7/2788381#2788381

Можно поискать на моей страничке или в мой блог зайти и пролистать вниз формулы и найти их несколько...
https://artofproblemsolving.com/community/c3046

Может есть какая та простая и эти коэффициенты к ней подойдут... мне просто лень искать...
Но так как ответ на этот вопрос гораздо сложней чем обычно все хотят получить. Опыт подсказывает, что отвечать на него нет смысла ... да и задавать его то же не стоит. Потому, что на этот вопрос такой ответ... который точно не понравиться!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 15 апр 2022, 14:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, можно воспользоватся параметрическим решением уравнения (оно полное):

[math]x=(a-3b)(5a-19b)\\y=(a-5b)(3a-19b)\\z=4ab[/math]

где [math]\gcd(a,b)=1[/math] и для выплнения неравенств, необходимо [math]\frac{19}{5}\le \frac a b <\sqrt{19}[/math]

[math](3.8;4.36)[/math] довольно узко, т.е для любого b, будут немного подходящие a.

Надо также учитыват, что если a,b - нечетные, нужно поделить на все 4, а если "а" кратно 19 - и на 19.

Показанные решения получаются при [math](a,b)=(4,1);(13,3);(38,9)[/math], второе - после деления на 4, третье - на 19.

Так что решения до [math]10^9[/math] думаю не проблема, надо работать с функцией gcd, если язык не поддерживает - написать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 15 апр 2022, 16:53 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Ну, можно воспользоватся параметрическим решением уравнения (оно полное):

[math]x=(a-3b)(5a-19b)\\y=(a-5b)(3a-19b)\\z=4ab[/math]


Ваш алгоритм работает !
Только в моей реализации он не все находит - где-то уже я накосячил
Например, для N=1000 он не нашел две тройки,
x=5 y=315 z=552
x=15 y=65 z=168

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 15 апр 2022, 19:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g писал(а):
Ваш алгоритм работает !
Только в моей реализации он не все находит - где-то уже я накосячил
Например, для N=1000 он не нашел две тройки,
x=5 y=315 z=552
x=15 y=65 z=168


1. a=23,b=6

2. a=57, b=14

57 делится на 19, так что делим на резултаты на 19.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметричное диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 15 апр 2022, 20:54 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):

1. a=23,b=6

2. a=57, b=14

57 делится на 19, так что делим на резултаты на 19.


Понятно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

bravo

10

2814

17 июл 2014, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

EvgeniyD

4

392

25 фев 2020, 11:11

Диофантово уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nataly-Mak

584

12748

12 дек 2015, 00:03

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

McMurphy

2

166

07 июн 2023, 14:41

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

5

127

10 ноя 2023, 22:39

Уравнение диофантово

в форуме Теория чисел

3axap

23

823

17 июн 2021, 11:02

Экспоненциальное диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

flexagon

2

321

27 июл 2021, 07:58

Как решается это диофантово уравнение?

в форуме Алгебра

3axap

7

285

22 июн 2019, 00:12

Диофантово уравнение 2-й степени

в форуме Теория чисел

Gagarin

7

1038

12 янв 2017, 12:15

Диофантово уравнение в wolframalpha

в форуме Алгебра

argus

2

731

18 окт 2017, 01:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved