Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 16 апр 2022, 12:29 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пьер Ферма обнаружил четвёрку целых положительных чисел —
[math]1 , 3 , 8 , 120[/math]
которые обладают следующим свойством:
если взять любые два числа из этого списка, перемножить их и прибавить к результату 1, то получится квадрат
На текущий момент мне неизвестна любая другая четверка, обладающая таким же свойством
Говорят, что в принципе возможны даже пятерки таких чисел

Я хотел бы обсудить алгоритм поиска таких четверок
Начнем с 1
[math]1*3=3 > 3+1=4[/math]
[math]1*8=8 > 8+1=9[/math]
[math]1*15=15 > 15+1=16[/math]
...
[math]1*120=120 ==> 120+1=121[/math]
Получаем ряд чисел, который начинается с единицы:
[math]1, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120[/math]
Ряд который начинается с двойки:
[math]2, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112[/math]
И так далее
Получаем таблицу:
[math]1, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120[/math]
[math]2, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112[/math]
[math]3, 5, 8, 16, 21, 33, 40, 56, 65, 85, 96, 120[/math]
[math]4, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110[/math]
[math]5, 7, 16, 24, 39, 51, 72, 88, 115[/math]
[math]6, 8, 20, 28, 48, 60, 88, 104[/math]
[math]7, 9, 24, 32, 57, 69, 104, 120[/math]
[math]8, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120[/math]
[math]9, 11, 32, 40, 75, 87[/math]
[math]10, 12, 36, 44, 84, 96[/math]
[math]11, 13, 40, 48, 93, 105[/math]
[math]12, 14, 24, 30, 44, 52, 70, 80, 102, 114[/math]
[math]13, 15, 48, 56, 111[/math]
[math]14, 16, 52, 60, 120[/math]
[math]15, 17, 24, 45, 56, 64, 77, 112[/math]
Я специально подсократил диапазон, чтобы нагляднее было обьяснить алгоритм

Далее я описываю алгоритм поиска, который мне кажется не идеальным:
Начинаем с первой строки
1. Берем в ней число, стоящее на второй позиции - это 3
Ищем строку, которая начинается с тройки, и проверяем, сколько в этой строке чисел, совпадающих с числами в первой строке
Таких чисел три:
[math]3, 8, 120[/math]
2. Далее ищем следующую строку, которая начинается с 8
Повторяем поиск и находим совпадающие числа:
[math]8, 15, 120[/math]
Здесь есть совпадение с предыдущей тройкой, и таким образом мы нашли четверку
[math]1, 3, 8, 120[/math]
3. Из исходной таблицы исключаются строки, начинающиеся с 1, 3, 8
4. Берется первая оставшаяся строка сверху, и поиск повторяется

В общем, время поиска приближается к
[math]O^3[/math]
что конечно не айс, и при увеличении диапазона скорость поиска начнет катастрофически падать

Вопрос - как ускорить поиск ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 16 апр 2022, 16:31 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я нашел еще одну четверку
[math]2, 4, 12, 420[/math]
И еще одну
[math]1, 3, 120, 1680[/math]


Последний раз редактировалось s_e_r_g 16 апр 2022, 17:05, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 16 апр 2022, 16:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что многовато тут открытых проблем рассматривается: пятерки вот эти, кубоиды)
Понятно, что запрещать это бессмысленно, но может пока с простых задач начать. Если простые пойдут, можно и на сложные накинуться))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 16 апр 2022, 22:17 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
12 июл 2021, 00:00
Сообщений: 160
Откуда: Русь
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
14 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g писал(а):
На текущий момент мне неизвестна любая другая четверка, обладающая таким же свойством

s_e_r_g писал(а):
Я нашел еще одну четверку
2,4,12,420
2,4,12,420

И еще одну
1,3,120,1680

вот еще немного четвёрок:
[math]n, n+2, 4n+4, 4(n+1) ( 2n+1) (2n+3)[/math]
[math]n \in \mathbb{N}[/math]
Цитата:
Говорят, что в принципе возможны даже пятерки таких чисел

Возможны, да, но вот пятёрки из целых, невозможны:
https://www.ams.org/journals/tran/2019- ... 8-07573-0/

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 17 апр 2022, 00:30 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
12 июл 2021, 00:00
Сообщений: 160
Откуда: Русь
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
14 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g писал(а):
Говорят, что в принципе возможны даже пятерки таких чисел

Krash писал(а):
Возможны, да,

Вот пример к вашей четвёрке
s_e_r_g писал(а):
2,4,12,420

[math]2,4,12,420,\frac{ 35455980 }{ 1625621761 }[/math]
Более того есть и шестёрки подобных чисел, а еще говорят что есть и семёрки, но это не точно.))))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 17 апр 2022, 02:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, смутила меня Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей
https://oeis.org/A030063
почему-то они там не знают, что проблема диофантовых пятерок решена, ну да ладно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 17 апр 2022, 07:25 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Krash писал(а):
Возможны, да, но вот пятёрки из целых, невозможны:
https://www.ams.org/journals/tran/2019- ... 8-07573-0/


Интересно
Википедия как будто ничего про это не знает

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 17 апр 2022, 12:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
27 апр 2018, 20:01
Сообщений: 220
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ещё одна тема... в которой задают вопрос... не понимая степень сложности вопроса и какие он проблемы подымает.
Тут интересны не пятёрки... тут интересно другое.
Возникает необходимость решить нелинейные системы алгебраических уравнений. Это конечно пол беды. Надо решить нелинейные системы диофантовых уравнений.
То есть сперва надо создать теорию и методику решения... придумать принцип как вообще это делать.
Ведь в конце концов в об решать занятие бесполезное. Уравнение уберёшь степень вырастит...и через пару действий... такая будет степень, что Галлуа будет орать про то чтоб вообще забыли формулу параметризации таких решений...

И тут появляюсь я... первое, что говорю. Это почему все рассматривают только единичку?
Почему всегда надо прибавлять единичку? Давай рассмотрим случай когда можно прибавить любое число...???

И рассмотрим несколько систем по порядку. Формулы перетаскивать сюда лень... поэтому кому нужно будет переходить по ссылке.

Параметризация для тройки...
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1184227_the_system_is_an_arithmetic_progression
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1057324_the_system_is_almost_linear_diophantine_equations

Параметризация для четвёрки....
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1183749_system_with_permutations

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 17 апр 2022, 16:53 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще несколько четверок:
[math]1, 3, 1680, 23408[/math]
[math]2, 4, 420, 14280[/math]
[math]5, 7, 24, 3432[/math]
[math]6, 8, 28, 5460[/math]
[math]9, 11, 40, 15960[/math]
[math]10, 12, 44, 21252[/math]
[math]13, 15, 56, 43848[/math]
[math]14, 16, 60, 53940[/math]
[math]17, 19, 72, 93240[/math]

Вероятно, таких четверок много, и все они начинаются с какой-то пары чисел, стоящих рядом друг с другом

Если поменять в формуле единицу на другую цифру, то четверки вообще не находятся
Смена знака тоже особо ничего не дает
Ферма что-то знал

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантовы пятерки
СообщениеДобавлено: 17 апр 2022, 22:22 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
12 июл 2021, 00:00
Сообщений: 160
Откуда: Русь
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
14 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
Да, смутила меня Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей
https://oeis.org/A030063
почему-то они там не знают, что проблема диофантовых пятерок решена, ну да ладно.

Такое случается, там действительно черным по забугорному написано:

Изображение
Но это предположение сделано 9 лет назад

Изображение
И собственно ничего более позднего не приведено. Зато есть в скобочках "руководство" для читателя

Изображение
Воспользуемся им и перейдем на страницу Дуйелла.
Находим саму гипотезу:


Изображение
А дальше теорему с необходимыми ссылками на доказательство в том числе на ту статью на которую ссылался я. Дата , прошу заметить, явно позже 2013-го

Изображение
На нашем могучем это выглядит примерно так:

Изображение
s_e_r_g писал(а):
Интересно
Википедия как будто ничего про это не знает

Это зависит от того, какую Википедию вы прочитали.


Изображение
s_e_r_g писал(а):
Вероятно, таких четверок много,

Там чуть выше, если вы не заметили, было написано:
Krash писал(а):
n,n+2,4n+4,4(n+1)(2n+1)(2n+3)

n∈N

Т. Е. Таких наборов бесконечно много и ещё чуть-чуть.
s_e_r_g писал(а):
и все они начинаются с какой-то пары чисел, стоящих рядом друг с другом

Рядом это как? В общем не важно, т.к. всегда можно найти такой набор, что модуль разници любых двух элементов данного набора будет больше любого наперед заданного числа . В качестве доказательства можно просто привести пример вот такого набора:
[math]1, n^{2}-1,n^{2}+2n, 4n^{4} +8n^{3}-4n[/math]
[math]n \in \mathbb{Z}[/math]
s_e_r_g писал(а):
Если поменять в формуле единицу на другую цифру, то четверки вообще не находятся

Это смотря какое число вы взяли вместо 1. Не для всех четвёрки существуют.
Например если вместо однёрки взять число вида 4k+2 , то четверок точно не найдёшь. т.к. если предположить, что есть такой набор из четырех чисел
[math]a_{1},a_{2},a_{3}, a_{4}[/math]
таких что
[math]a_{i}a_{j}+4k+2=b^{2}[/math]
то поскольку:
[math]b^{2} \equiv 0 or 1 \pmod{ 4 }[/math]
получаем, что:
[math]a_{i}a_{j} \equiv 2 or 3 \pmod{ 4 }[/math]
от сюда следует, что ни одно число из набора не делится на 4, а это значит, что в наборе есть два числа сравнимых по модулю 4, но тогда получается
[math]a_{i}a_{j} \equiv 0 or 1\pmod{ 4 }[/math], противоречие.
s_e_r_g писал(а):
Смена знака тоже особо ничего не дает

Это вы погорячились. Еще раз перечитайте то, что вам здесь ответили.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сколько абитуриентов получили ровно две пятерки?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

katerinamojcuk

9

188

11 май 2022, 15:38

Как найти вероятность того, что обе пятерки стоят рядом

в форуме Теория вероятностей

usovousovo

17

459

25 окт 2022, 19:27

Диофантовы уравнения

в форуме Алгебра

Petja234

19

697

27 май 2021, 11:57

Диофантовы уравнения

в форуме Теория чисел

Anashkin V

2

272

21 дек 2020, 01:11

Диофантовы уравнения

в форуме Геометрия

mdauletiyarov

5

171

05 ноя 2022, 07:17

Диофантовы уравнения

в форуме Теория чисел

lenka44_44

7

636

12 сен 2018, 22:10

Преобразовать диофантовы уравнения

в форуме Алгебра

gtdd1962

6

420

18 янв 2016, 10:43

Диофантовы уравнения с 2 неизвестными

в форуме Теория чисел

kda

29

879

22 апр 2019, 18:35

Подгонка суммы или диофантовы уравнения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

stmnf

2

412

02 фев 2019, 06:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved