Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 15:34 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно подобрать такие четыре целых числа, чтобы сумма любых трёх из них была степенью двойки с натуральным показателем (пять чисел подобрать нельзя, это совсем нетрудно доказать).
Например, -12, 4, 12 и 16.

Обязательно ли в такой подборке хотя бы одно из чисел будет отрицательным?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 21:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если повторы допустимы, то бесконечное число решений. Например
4 4 24 100

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 21:17 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если повторы допустимы, то бесконечное число решений. Например
4 4 24 100

А 108 - это какая степень двойки?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 21:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak, да, Вы правы. Прозевал этот случай. Тогда положительных решений нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 23:45 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если повторы допустимы, ...

Ой, вылетело из башки указать, что все числа попарно различны. Хотя, красивая задача получается в обоих случаях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 23:47 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
А 108 - это какая степень двойки?

С нецелым показателем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 12 авг 2017, 08:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так как решение системы:

[math]a=\frac 1 3 (2^u+2^v+2^w-2\cdot 2^t)[/math]

Остальные аналогично, меняется только [math]-2\cdot[/math]

то хотя бы одно из них будет отрицательным (если все числа разные)

А если допускаются равные, то только [math]v=w=t[/math], но тогда [math]2^u[/math] не делится на 3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 12 авг 2017, 14:23 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, если, например, [math]0 \leqslant x_1<x_2<x_3<x_4,[/math] то, согласно условию задачи,

[math]\left\{\!\begin{aligned} & x_4+x_3+x_2=2^d, \\ & x_4+x_3+x_1=2^c, \\ & x_4+x_2+x_1=2^b, \\ & x_3 +x_2+x_1=2^a, \end{aligned}\right.[/math]


причём [math]2^a<2^b<2^c<2^d.[/math] Решая эту систему, получим
[math]3x_1=-2^{d+1}+2^c+2^b+2^a,[/math]

откуда
[math]3x_1 \leqslant -15 \cdot 2^a<0,[/math]

[math]x_1<0[/math]

(здесь мы положили [math]2^b \geqslant 2 \cdot 2^a,~2^c \geqslant 4 \cdot 2^a,~2^d \geqslant 8 \cdot 2^a[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма трёх нечётных чисел

в форуме Теория чисел

Ivan_________0

2

941

18 июл 2018, 14:24

Степень двойки

в форуме Алгебра

Igor kupryniuk

11

403

02 фев 2020, 12:03

Найдите наибольшую степень двойки

в форуме Алгебра

valeron1115

6

872

14 май 2018, 13:23

Степень числа 11, полученная из степени двойки

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

4

116

18 мар 2024, 00:41

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна четвертая степен

в форуме Теория чисел

Phenol

1

320

01 апр 2020, 14:23

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Теория чисел

johnson

5

934

14 мар 2017, 22:00

Сумма трех кубов

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

bimol

13

34748

31 мар 2019, 16:53

Если сумма трёх квадратов...

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

3

373

16 сен 2017, 23:20

Сумма первых трёх цифр на 6 больше суммы оставшихся

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

prostonekitos

1

841

21 май 2017, 23:54

Делимость произведения трёх чисел на 7

в форуме Теория чисел

gadenin

9

492

27 ноя 2017, 21:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved