Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 10:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 июл 2022, 07:56
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую вас.
Попалась интересная задачка.
[math]a[/math] и [math]b[/math] - вещественные числа такие, что [math](a+b)[/math] - целое и [math]a^2+b^2=2[/math].
Требуется найти все пары [math](a,b)[/math] и доказать, что других кроме найденных нет.
Я нашла только 4 пары решений: [math]a= \pm
1, b= \pm 1[/math]
в различных сочетаниях. Ну это то, что сразу бросается в глаза.
Но есть ли еще?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
viryna писал(а):
Но есть ли еще?

Сколько угодно: [math]a= \pm \sqrt{{2-b^2} }[/math] для [math]b \in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \right][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очевидно, [math]\left| a \right|, \left| b \right| \leqslant \sqrt{2}[/math] и [math]a+b[/math] может быть равно [math]0, \pm 1, \pm 2[/math].
Равенство 0 даёт найденные вами решения.
Остальные легко находятся из системы
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a^2+b^2=2 \\
& a+b = \pm 1, \pm 2
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
ferma-T, viryna
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Требуется, чтобы сумма a и b была целочисленной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, что-то я не разглядел условие, что [math]a+b[/math] должно быть целым числом, но в любом случае а и b не обязаны быть целочисленными, как видимо считает ТС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:36 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 924
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
358 раз в 336 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\phantom{0}[/math]


Последний раз редактировалось MurChik 05 мар 2023, 12:19, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:37 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
viryna писал(а):
Но есть ли еще?
Сколько угодно
Да нет, не сколько угодно.
Из той системы, которую предложил Booker48, я нашёл ещё 4 пары.
Только я бы немного упростил. Из 5 вариантов: [math]a+b=-2,~~ a+b=-1,~~ a+b=0,~~ a+b=1,~~ a+b=2[/math] в силу симметрии достаточно решить только 3 системы:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a + b = 0 \\
& a^2 + b^2 = 2
\end{aligned}\right.[/math]
, [math]\left\{\!\begin{aligned}
& a + b = 1 \\
& a^2 + b^2 = 2
\end{aligned}\right.[/math]
, [math]\left\{\!\begin{aligned}
& a + b = 2 \\
& a^2 + b^2 = 2
\end{aligned}\right.[/math]


В итоге всего 8 решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
viryna
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 11:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MurChik писал(а):
[math]a=0, \pm 1, \pm 2;[/math] [math]b=m-a[/math]
MurChik
Это неверно. Сколько же у Вас получается решений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 12:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 июл 2022, 07:56
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
в любом случае а и b не обязаны быть целочисленными, как видимо считает ТС
Нет, я так вовсе не считаю.
Я решила эти системы, и у меня таки получилось 8 пар:
[math](1, 1); \quad (-1, -1); \quad (1, -1); \quad (-1, 1); \quad (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}); \quad (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}); \quad (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}); \quad (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})[/math]
Правильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непростое квадратное уравнение
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 12:17 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 924
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
358 раз в 336 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
MurChik писал(а):
[math]a=0, \pm 1, \pm 2;[/math] [math]b=m-a[/math]
MurChik
Это неверно. Сколько же у Вас получается решений?

Я еще не проснулся.
[math]a+b=m \Rightarrow b=m-a \Rightarrow a^2+(m-a)^2=2 \Rightarrow 2a^2-2ma+m^2-2=0 \Rightarrow[/math]
[math]a=\frac{m \pm \sqrt{4-m^2}}{2}\Rightarrow m=0, \pm 1, \pm 2 \Rightarrow
a=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}, \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}, \pm 1;[/math]

Считать сколько получится разных решений не хочется.


Последний раз редактировалось MurChik 05 мар 2023, 12:52, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Квадратное уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

andrei

5

629

20 сен 2014, 10:20

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

raaaaawwr

9

678

22 дек 2015, 00:00

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

Evgenshev

2

375

13 июн 2016, 17:48

Квадратное уравнение. p+q

в форуме Алгебра

XieLing

5

260

10 фев 2022, 13:28

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

Kosta

3

301

11 апр 2017, 13:13

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

bekka

2

299

12 янв 2018, 15:30

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

fermurr

2

858

21 окт 2017, 17:30

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

Shin

4

438

15 май 2015, 11:29

Квадратное уравнение

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

SonniK

1

165

15 мар 2022, 14:25

Квадратное уравнение

в форуме Алгебра

bekka

2

337

16 янв 2018, 18:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved