Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 21:40 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функция:
[math]f(z) = \frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}}[/math]
Круг:
[math]D^|z| < 2[/math]

Я ведь могу так сделать, ведь функция аналитична?
[math]\oint\limits_{|z| < 2} {\frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}}} = \sum\limits_{}^{} {\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to 0} \frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}} + } \mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to 1} \frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}}[/math]


Последний раз редактировалось Nightwish7 11 апр 2013, 21:55, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 21:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Убирайте знаки долларов из формул, а то у Вас все знаки пляшут, и кое-какие моменты не ясны. Например, почему нет единицы в числителе изначальной функции и почему при вычислении интеграла экспонента перекочевала в числитель?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 21:56 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
поправил


Последний раз редактировалось Nightwish7 11 апр 2013, 22:19, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 22:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Знак суммы тут не к месту, ибо Вы уже и так выписали оба слагаемых. И почему второй вычет в единице?
А так верно. Хотя, возможно, удобнее будет посчитать вычет в бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 22:14 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
не 1, а -1. Это ведь особые точки. Почему в бесконечности?

И могу ли я вычет так посчитать?
[math]f(z) = \frac{{\varphi (z)}}{{\psi (z)}},\varphi (z) = {z^3}{e^{\frac{1}{z}}},\psi (z) = z + 1[/math]
[math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to -1} f(z) = \frac{{\varphi (-1)}}{{\psi '(-1)}}[/math]
т.е. он равен?
[math]\[\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to - 1} f(z) = {e^{ - 1}}\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 22:28 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как вычет в нуле посчитать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти интеграл по границе области D
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 23:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nightwish7 писал(а):
Почему в бесконечности?


Сумма вычетов во всех особых точках любой функции (с конечным числом изолированных особых точек) равна нулю. Так что вместо подсчёта вычетов в нуле и -1 можно посчитать вычет в бесконечности с обратным знаком.

Nightwish7 писал(а):
И могу ли я вычет так посчитать?


Можете. Но, как Вам обычно и свойственно, не обошлось без ошибок. Причём ошибка чисто арифметическая.

Nightwish7 писал(а):
А как вычет в нуле посчитать?


Нужно найти коэффициент [math]c_{-1}[/math] разложения функции в ряд Лорана по степеням [math]z[/math] в некоторой проколотой окрестности нуля. Это несколько сложно, поэтому я и предложил считать вычет в бесконечности.
Скажем,

[math]z^3e^{\frac1z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!z^{k-3}}[/math]

[math]\frac1{z+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n[/math]

Если внимательно проследить за перемножением этих двух рядов, то можно заметить, что

[math]c_{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+4)!}=e^{-1}-\frac13[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Nightwish7
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл по границе многосвязной области

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Free Dreamer

0

295

16 янв 2013, 18:25

Кривол-ый интеграл по границе тр-ка, Формула Грина

в форуме Интегральное исчисление

ShamanS328

0

102

12 окт 2021, 20:13

Кривол-ый интеграл по границе тр-ка, Формула Грина

в форуме Интегральное исчисление

ayumi

2

156

07 сен 2022, 15:31

Интеграл по ориентированной границе по теореме Стокса

в форуме Векторный анализ и Теория поля

MoskvinAlex

1

452

05 дек 2012, 15:21

Найти интеграл по области D

в форуме Интегральное исчисление

LikaLika

9

241

26 ноя 2018, 13:13

Что означает формула (степень в границе интегрирования)

в форуме Интегральное исчисление

Roma353423423

2

119

07 авг 2022, 07:26

Коэффициенты прогонки на границе двух сред

в форуме Численные методы

GreenEkatherine

0

338

02 сен 2015, 12:29

Поведение электромагнитной волны на границе двух сред

в форуме Электричество и Магнетизм

Narsky

1

945

02 окт 2016, 10:47

Тройной интеграл в области

в форуме Интегральное исчисление

honey

1

136

11 апр 2020, 13:52

Двойной интеграл по области D

в форуме Интегральное исчисление

HellDiablo322

3

162

14 май 2019, 23:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved