Найти интеграл по границе области D

Функция:
[math]f(z) = \frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}}[/math]
Круг:
[math]D^|z| < 2[/math]

Я ведь могу так сделать, ведь функция аналитична?
[math]\oint\limits_{|z| < 2} {\frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}}} = \sum\limits_{}^{} {\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to 0} \frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}} + } \mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to 1} \frac{{{z^3}}}{{(z + 1)}}{e^{\frac{1}{z}}}[/math]

Убирайте знаки долларов из формул, а то у Вас все знаки пляшут, и кое-какие моменты не ясны. Например, почему нет единицы в числителе изначальной функции и почему при вычислении интеграла экспонента перекочевала в числитель?

поправил

Знак суммы тут не к месту, ибо Вы уже и так выписали оба слагаемых. И почему второй вычет в единице?
А так верно. Хотя, возможно, удобнее будет посчитать вычет в бесконечности.

не 1, а -1. Это ведь особые точки. Почему в бесконечности?

И могу ли я вычет так посчитать?
[math]f(z) = \frac{{\varphi (z)}}{{\psi (z)}},\varphi (z) = {z^3}{e^{\frac{1}{z}}},\psi (z) = z + 1[/math]
[math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to -1} f(z) = \frac{{\varphi (-1)}}{{\psi '(-1)}}[/math]
т.е. он равен?
[math]\[\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z \to - 1} f(z) = {e^{ - 1}}\][/math]

А как вычет в нуле посчитать?

Сумма вычетов во всех особых точках любой функции (с конечным числом изолированных особых точек) равна нулю. Так что вместо подсчёта вычетов в нуле и -1 можно посчитать вычет в бесконечности с обратным знаком.



Можете. Но, как Вам обычно и свойственно, не обошлось без ошибок. Причём ошибка чисто арифметическая.



Нужно найти коэффициент [math]c_{-1}[/math] разложения функции в ряд Лорана по степеням [math]z[/math] в некоторой проколотой окрестности нуля. Это несколько сложно, поэтому я и предложил считать вычет в бесконечности.
Скажем,

[math]z^3e^{\frac1z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!z^{k-3}}[/math]

[math]\frac1{z+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n[/math]

Если внимательно проследить за перемножением этих двух рядов, то можно заметить, что

[math]c_{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+4)!}=e^{-1}-\frac13[/math]