Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Используя монотонность и ограниченность доказать сходимость
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2022, 15:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 окт 2022, 16:20
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
x(1) > 0, x(n+1) = 1/3 * (2*x(n) + 125/x(n)^2))
x(n) - последовательность если что

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя монотонность и ограниченность доказать сходимость
СообщениеДобавлено: 29 ноя 2022, 18:04 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1063
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
x(n+1)=1/3 *[2*x(n)+125/x(n)^2].
Чтобы упростить и так не сложные алгебраические преобразования, возьмем последовательность {y(n)} : y(n)=x(n)/5.
Тогда y(n+1)=1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2]. (1)
Предположим, что y(n)>1 (или x(n)>5), тогда из (1) получаем
y(n+1)=1/3*[2*y(n)+1/y(n)^2]=1/3*[2*y(n)+ y(n)/y(n)^3]< 1/3*[2*y(n)+ y(n)]< y(n). (2)
При этом y(n+1)-1 = 1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2] -1 =[y(n)-1]^2 *[2*y(n)+1]/[3*y(n)^2]>0.
то есть y(n+1)>1. Значит (2) выполняется для n=1,2,3.....
Итак,для произвольного натурального n последовательность монотонно убывающая и ограниченная:
1< y(n+1)<y(n)≤y(1) {или 5 <x(n+1)<x(n)≤x(1)}.
Предположим, y(n)<1 (или x(n)<5), тогда из (1) получаем
y(n+1)=1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2] = 1/3 *[2*y(n)+ y(n)/y(n)^3]>1/3 *[2*y(n)+ y(n)]> y(n), (3)
В этом случае, y(n+1)-1 = 1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2] -1 =[y(n)-1]^2 *[2*y(n)+1]/[3*y(n)^2]<0,
то есть y(n+1)<1. Значит (3) выполняется для n=1,2,3...
В этом случае для произвольного натурального n последовательность монотоннно возрастающая и ограниченная: 1>y(n+1)>y(n) ≥y(1) {или 5 >x(n+1)>x(n) ≥x(1)}.

Возвращаясь, к исходной последовательности, доказано, что при x(1)>5 последовательность монотонно убывающая и ограниченная;
при x(1)<5 последовательность монотонно возрастающая и ограниченная.
В обоих случаях предел есть.
Пусть lim(n→∞)x(n)= lim(n→∞)x(n+1)= A.
Тогда из первоначального равенства следует A=1/3 *(2A+125/A^2)=> A=5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю revos "Спасибо" сказали:
OddBlossom
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать сходимость, используя монотонность и ограниченность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

OddBlossom

8

285

23 окт 2022, 16:24

Доказать ограниченность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nyamnyam

1

130

27 июл 2020, 19:35

Доказать ограниченность суммы

в форуме Ряды

RaskolRodionov

3

438

18 дек 2017, 00:23

Доказать ограниченность числовой последовательности

в форуме Ряды

S19

1

58

12 янв 2024, 00:18

Доказать монотонность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Grosser

8

232

17 сен 2019, 01:19

Доказать монотонность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

letunx

3

380

10 сен 2014, 16:16

Доказать строгую монотонность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MathSamurai

11

416

29 сен 2020, 18:19

Доказать используя определение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mf_

2

158

25 окт 2022, 22:20

Доказать, используя определение предела, что

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anna1996

1

357

19 май 2015, 21:03

Доказать используя математическую индукцию

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dragomir

1

173

14 июн 2017, 00:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved