Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
OddBlossom |
|
|
x(n) - последовательность если что |
||
Вернуться к началу | ||
revos |
|
|
x(n+1)=1/3 *[2*x(n)+125/x(n)^2].
Чтобы упростить и так не сложные алгебраические преобразования, возьмем последовательность {y(n)} : y(n)=x(n)/5. Тогда y(n+1)=1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2]. (1) Предположим, что y(n)>1 (или x(n)>5), тогда из (1) получаем y(n+1)=1/3*[2*y(n)+1/y(n)^2]=1/3*[2*y(n)+ y(n)/y(n)^3]< 1/3*[2*y(n)+ y(n)]< y(n). (2) При этом y(n+1)-1 = 1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2] -1 =[y(n)-1]^2 *[2*y(n)+1]/[3*y(n)^2]>0. то есть y(n+1)>1. Значит (2) выполняется для n=1,2,3..... Итак,для произвольного натурального n последовательность монотонно убывающая и ограниченная: 1< y(n+1)<y(n)≤y(1) {или 5 <x(n+1)<x(n)≤x(1)}. Предположим, y(n)<1 (или x(n)<5), тогда из (1) получаем y(n+1)=1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2] = 1/3 *[2*y(n)+ y(n)/y(n)^3]>1/3 *[2*y(n)+ y(n)]> y(n), (3) В этом случае, y(n+1)-1 = 1/3 *[2*y(n)+1/y(n)^2] -1 =[y(n)-1]^2 *[2*y(n)+1]/[3*y(n)^2]<0, то есть y(n+1)<1. Значит (3) выполняется для n=1,2,3... В этом случае для произвольного натурального n последовательность монотоннно возрастающая и ограниченная: 1>y(n+1)>y(n) ≥y(1) {или 5 >x(n+1)>x(n) ≥x(1)}. Возвращаясь, к исходной последовательности, доказано, что при x(1)>5 последовательность монотонно убывающая и ограниченная; при x(1)<5 последовательность монотонно возрастающая и ограниченная. В обоих случаях предел есть. Пусть lim(n→∞)x(n)= lim(n→∞)x(n+1)= A. Тогда из первоначального равенства следует A=1/3 *(2A+125/A^2)=> A=5. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю revos "Спасибо" сказали: OddBlossom |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |