Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ferma-T |
|
|
Дана окружность с центром О. Где-то рядом дана точка А. Построить такую красную секущую, чтобы [math]\alpha = \beta[/math]. ЦиЛ. Построение обосновать. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Li6-D, michel, MihailM |
||
michel |
|
|
Способ построения секущей ясен из решения следующей задачи и сводится к построению её внешнего отрезка с длиной [math]x=\sqrt{a \cdot (a+r)}[/math], где [math]a[/math] - расстояние от точки А до окружности, [math]r[/math] - её радиус.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: ferma-T, Li6-D |
||
ferma-T |
|
|
michel писал(а): Способ построения секущей ясен из решения следующей задачи Моё решение, то из двух, которое аналитическое, очень похоже на ваше. Те же свойства по началу использовал. Только я работал напрямую с указанными в условии углами, поэтому мне пришлось использовать теорему косинусов. Но зато при этом свойство биссектрисы стало не нужно. В итоге у меня тоже получилась система 2 уравнений, несколько более громоздкая, чем у вас. У вас это очень хорошая находка - работать с центральными углами вместо вписанных. Но аналитические решения тут довольно простые и не очень интересные (кроме вашей интересной находки работать с центральными углами вместо вписанных). И я бы не стал ради аналитического решения предлагать эту задачу. А вот чисто чертежное геометрическое решение у меня получилось, ИМХО, весьма красивое. Могете без уравнений и без вычислений длин отрезков, просто циркулем и линейкой? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
ferma-T писал(а): Могете без уравнений и без вычислений длин отрезков, просто циркулем и линейкой? Можно так. Отложим на диаметральной прямой справа отрезок длиной [math]AE'=a=AE[/math]. Возникает отрезок [math]OE'=r+a+a[/math], который является диаметром новой окружности. Из точки А строим перпендикуляр [math]AH[/math] к диаметру до пересечения с этой новой окружностью. Его длина будет равна внешнему отрезку секущей [math]x=AB[/math]. Т.е. проводим ещё одну окружность с центром в А и с радиусом, равным длине этого перпендикуляра [math]AH[/math] до пересечения с исходной окружностью в точке [math]B[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
ferma-T |
|
|
michel писал(а): Можно так Спасибо. Однако, это не то, что я имел ввиду. Это вы "схитрили". Вы просто прилепили к изначальному рисунку построение отрезка х по известному методу построения среднего геометрического. И за этим не стоит никакая оригинальная самостоятельная геометрическая идея. Если бы вы заранее не знали выведенную вами в предыдущем вашем решении формулу для длины x, вы бы вряд ли догадались, что так надо рисовать. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Строим окружность, гомотетичную заданной относительно центра гомотетии - точки А так, чтобы наиболее удалённая от А точка новой окружности прошла через центр старой.
Искомые секущие проходят через точки пересечения окружностей. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Строим окружность, гомотетичную заданной относительно центра гомотетии - точки А так, чтобы наиболее удалённая от А точка новой окружности прошла через центр старой. Искомые секущие проходят через точки пересечения окружностей. Спасибо, ваш метод работает. Но как насчет его обоснования и того, на какой геометрической идее основано это построение? Эта задача имеет много геометрических построений в виде фокуса типа "проведём это через это и получим". Один только я нашел ещё как минимум два других построения по типу "ух ты, как просто". Но они опираются на геометрическую идею, а не на случайные счастливые совпадения. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
ferma-T, геометрическая идея состоит в следующем.
Воспользовавшись теоремой о вписанном и центральном углах окружности, несложно показать параллельность отрезков DC и OB (спасибо рисунку michel). Значит данные отрезки гомотетичны относительно A. Поэтому гомотетичны и окружности с центрами на луче AD, у которых хорды - упомянутые отрезки. Чтобы построить гомотетичную окружность необязательно знать точки B, C. Например, можно провести через D любую хорду заданной окружности и найти ее середину. На прямой, проходящей через O параллельно хорде, находим середину хорды новой окружности (гомотетия относительно A). И через неё проведем перпендикуляр к хорде. Пересечение этого перпендикуляра с лучом AD даст центр новой окружности... |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Воспользовавшись теоремой о вписанном и центральном углах окружности, несложно показать параллельность отрезков DC и OB (спасибо рисунку michel). Значит данные отрезки гомотетичны относительно A. ОК, принимается. Вы, правда, метод построения гомотетичной окружности какой-то извратный описали. Стандартно строится проще - проводим произвольную хорду из D, другой конец ходы соединяем с точкой А, и затем проводим параллель этой хорде из точки О - так получили вторую точку искомой окружности. Можно ещё через общую касательную из точки А к данной и искомой окружностям. Поддержите тут новую традицию благодарить авторов авторских задач, если, конечно, задача понравилась. П.С. Поскольку эта задача не сложная, я, через некоторое время, добавлю некоторую вариацию к ней - будет посложнее. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
ferma-T писал(а): Поддержите тут новую традицию благодарить авторов авторских задач, если, конечно, задача понравилась. Несомненно! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Построить хорду, которая бы на 3 равных части делилась радиу
в форуме Геометрия |
5 |
586 |
15 июн 2018, 20:41 |
|
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми
в форуме Геометрия |
12 |
439 |
21 ноя 2019, 15:48 |
|
Деление ∆-ка на 4 равных по площади ∆-ка | 2 |
302 |
02 янв 2021, 21:25 |
|
Найдите пару равных треугольников
в форуме Геометрия |
1 |
662 |
28 фев 2018, 07:16 |
|
Разрезать квадрат на три равных четырёхугольника | 8 |
367 |
29 окт 2020, 18:55 |
|
Квадрат разделен на 16 равных квадратов
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
3 |
2213 |
29 июл 2015, 13:56 |
|
Разделить функцию на n равных по площади частей
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
496 |
27 авг 2015, 13:16 |
|
Найти длину трех равных отрезков
в форуме Геометрия |
21 |
826 |
12 ноя 2014, 09:18 |
|
Пользуясь определением равных матриц записать ответ
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
130 |
13 дек 2020, 18:05 |
|
Доказать параллельность прямых при равных длине биссектрис в
в форуме Геометрия |
4 |
161 |
13 окт 2020, 14:57 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |