Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 07 авг 2022, 03:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1099
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
297 раз в 274 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще одна задача придумалась и решилась (двумя способами). Предлагаю решить и вам.


Дана окружность с центром О. Где-то рядом дана точка А. Построить такую красную секущую, чтобы [math]\alpha = \beta[/math]. ЦиЛ.
Построение обосновать.


Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D, michel, MihailM
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 07 авг 2022, 10:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7037
Cпасибо сказано: 210
Спасибо получено:
2537 раз в 2340 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Способ построения секущей ясен из решения следующей задачи и сводится к построению её внешнего отрезка с длиной [math]x=\sqrt{a \cdot (a+r)}[/math], где [math]a[/math] - расстояние от точки А до окружности, [math]r[/math] - её радиус.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
ferma-T, Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 07 авг 2022, 10:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1099
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
297 раз в 274 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Способ построения секущей ясен из решения следующей задачи

Моё решение, то из двух, которое аналитическое, очень похоже на ваше. Те же свойства по началу использовал. Только я работал напрямую с указанными в условии углами, поэтому мне пришлось использовать теорему косинусов. Но зато при этом свойство биссектрисы стало не нужно. В итоге у меня тоже получилась система 2 уравнений, несколько более громоздкая, чем у вас. У вас это очень хорошая находка - работать с центральными углами вместо вписанных.

Но аналитические решения тут довольно простые и не очень интересные (кроме вашей интересной находки работать с центральными углами вместо вписанных). И я бы не стал ради аналитического решения предлагать эту задачу. А вот чисто чертежное геометрическое решение у меня получилось, ИМХО, весьма красивое. Могете без уравнений и без вычислений длин отрезков, просто циркулем и линейкой?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 07 авг 2022, 10:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7037
Cпасибо сказано: 210
Спасибо получено:
2537 раз в 2340 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Могете без уравнений и без вычислений длин отрезков, просто циркулем и линейкой?

Можно так. Отложим на диаметральной прямой справа отрезок длиной [math]AE'=a=AE[/math]. Возникает отрезок [math]OE'=r+a+a[/math], который является диаметром новой окружности. Из точки А строим перпендикуляр [math]AH[/math] к диаметру до пересечения с этой новой окружностью. Его длина будет равна внешнему отрезку секущей [math]x=AB[/math]. Т.е. проводим ещё одну окружность с центром в А и с радиусом, равным длине этого перпендикуляра [math]AH[/math] до пересечения с исходной окружностью в точке [math]B[/math].
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 07 авг 2022, 11:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1099
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
297 раз в 274 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Можно так

Спасибо. Однако, это не то, что я имел ввиду. Это вы "схитрили". Вы просто прилепили к изначальному рисунку построение отрезка х по известному методу построения среднего геометрического. И за этим не стоит никакая оригинальная самостоятельная геометрическая идея. Если бы вы заранее не знали выведенную вами в предыдущем вашем решении формулу для длины x, вы бы вряд ли догадались, что так надо рисовать. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 09 авг 2022, 14:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1052
Cпасибо сказано: 210
Спасибо получено:
583 раз в 466 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Строим окружность, гомотетичную заданной относительно центра гомотетии - точки А так, чтобы наиболее удалённая от А точка новой окружности прошла через центр старой.
Искомые секущие проходят через точки пересечения окружностей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 09 авг 2022, 15:05 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1099
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
297 раз в 274 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Строим окружность, гомотетичную заданной относительно центра гомотетии - точки А так, чтобы наиболее удалённая от А точка новой окружности прошла через центр старой. Искомые секущие проходят через точки пересечения окружностей.

Спасибо, ваш метод работает. Но как насчет его обоснования и того, на какой геометрической идее основано это построение? Эта задача имеет много геометрических построений в виде фокуса типа "проведём это через это и получим". Один только я нашел ещё как минимум два других построения по типу "ух ты, как просто". Но они опираются на геометрическую идею, а не на случайные счастливые совпадения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 09 авг 2022, 16:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1052
Cпасибо сказано: 210
Спасибо получено:
583 раз в 466 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T, геометрическая идея состоит в следующем.
Воспользовавшись теоремой о вписанном и центральном углах окружности, несложно показать параллельность отрезков DC и OB (спасибо рисунку michel).
Значит данные отрезки гомотетичны относительно A.
Поэтому гомотетичны и окружности с центрами на луче AD, у которых хорды - упомянутые отрезки.
Чтобы построить гомотетичную окружность необязательно знать точки B, C. Например, можно провести через D любую хорду заданной окружности и найти ее середину.
На прямой, проходящей через O параллельно хорде, находим середину хорды новой окружности (гомотетия относительно A). И через неё проведем перпендикуляр к хорде. Пересечение этого перпендикуляра с лучом AD даст центр новой окружности...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 09 авг 2022, 17:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 1099
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
297 раз в 274 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Воспользовавшись теоремой о вписанном и центральном углах окружности, несложно показать параллельность отрезков DC и OB (спасибо рисунку michel).
Значит данные отрезки гомотетичны относительно A.

ОК, принимается. Вы, правда, метод построения гомотетичной окружности какой-то извратный описали. Стандартно строится проще - проводим произвольную хорду из D, другой конец ходы соединяем с точкой А, и затем проводим параллель этой хорде из точки О - так получили вторую точку искомой окружности. Можно ещё через общую касательную из точки А к данной и искомой окружностям.

Поддержите тут новую традицию благодарить авторов авторских задач, если, конечно, задача понравилась.

П.С. Поскольку эта задача не сложная, я, через некоторое время, добавлю некоторую вариацию к ней - будет посложнее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить секущую при равных углах
СообщениеДобавлено: 09 авг 2022, 18:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 4778
Cпасибо сказано: 102
Спасибо получено:
844 раз в 796 сообщениях
Очков репутации: 68

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Поддержите тут новую традицию благодарить авторов авторских задач, если, конечно, задача понравилась.

Несомненно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построить хорду, которая бы на 3 равных части делилась радиу

в форуме Геометрия

IvanSavkiv

5

443

15 июн 2018, 20:41

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми

в форуме Геометрия

mathematic_x

12

400

21 ноя 2019, 15:48

Деление ∆-ка на 4 равных по площади ∆-ка

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Li6-D

2

259

02 янв 2021, 21:25

Квадрат разделен на 16 равных квадратов

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

_DEADMAN

3

1831

29 июл 2015, 13:56

Найдите пару равных треугольников

в форуме Геометрия

Dim212

1

573

28 фев 2018, 07:16

Разрезать квадрат на три равных четырёхугольника

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Xenia1996

8

315

29 окт 2020, 18:55

Найти длину трех равных отрезков

в форуме Геометрия

kulikovskih

21

773

12 ноя 2014, 09:18

Разделить функцию на n равных по площади частей

в форуме Интегральное исчисление

draft3

4

470

27 авг 2015, 13:16

Доказать параллельность прямых при равных длине биссектрис в

в форуме Геометрия

mdauletiyarov

4

122

13 окт 2020, 14:57

Пользуясь определением равных матриц записать ответ

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Linux_Gamer

4

111

13 дек 2020, 18:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Pavel_Kotoff и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved