Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 01 окт 2018, 12:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь если я выбрал неподходящий раздел для темы (я подумал, что раздел “дифференциальное исчисление” больше подходит для решения задач студентам, чем для дискуссионных тем).
Меня всегда удивляло, почему в дифференциальных уравнениях в простых случаях переменные разделить можно, а в более сложных нельзя. Это очень актуально для квантовой химии: атом водорода можно просчитать идеально точно (точнее, аналитически), а уже чуть более сложные системы требуют совершенно других подходов. Почему для малой системы можно решить задачу аналитически, а если её чуть усложнить, вычислительные затраты возрастают в миллиарды раз?
А может ли быть такое, что математика ещё научится решать произвольные дифференциальные уравнения? Могу привести аналогию с кубическими уравнениями: в средние века их решение было творческой задачей, устраивались турниры по их решению, а после появления формулы Кардано эта задача стала рутинной.
А чтобы появилась формула Кардано, потребовалось придумать новую сущность – мнимые числа. Это к вопросу о полезности философии в математике.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 01 окт 2018, 12:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислительные затраты не возрастают в миллиарды раз по сравнению с аналитическими решениями. Наоборот, часто аналитические решения оказываются гораздо более затратными. Что касается идеи, что математика научится решать произвольные дифференциальные уравнения, то хотел бы напомнить, что произвольные алгебраические уравнения степени выше четырех тоже не решаются аналитически (это было доказано ещё в начале 19 века).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 12:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hoper! Да, для водорода переменные разделяются, а для гелия уже нет, я помню об этом))) Мне это странным не кажется, ведь дифференциальные уравнения сложнее алгебраические, а и они решаются численно (иногда даже кубические). Когда-то я купил книжку Незбайло Т.Г. "Теория нахождения корней алгебраических уравнений в аналитической форме". Но там я столкнулся с выкладками, содержащими суммирования, рекурсии, гипергеометрические функции и т.д. и ... понял преимущество численных методов. Да, наверно, можно придумать какую-то сложную матмодель, но решение с её помощью не будет выглядеть убедительным)))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 12:45 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
произвольные алгебраические уравнения степени выше четырех тоже не решаются аналитически (это было доказано ещё в начале 19 века).


Я это понимаю несколько по-другому.
Решая уравнения, мы пользуемся списком стандартных математических функций: разные синусы, логарифмы, корни и т.д. Многие из них находятся тоже как бы численно – за счёт расчётов сходящихся рядов.
То, что уравнение четвёртой степени нельзя в общем случае решить – это значит что нельзя представить его решение в виде уравнения со стандартными функциями. Но можно придумать какой-нибудь “гиперсинус” или “гиперкорень” и тогда решение будет выражено в виде простого уравнения. Между синусом и “гиперсинусом” не будет принципиальной разницы – и то и то считатся как сумма сходящегося ряда.
Можно провести аналогию с интегралами: с одной стороны, какие-то интегралы берутся а какие-то нет, но при этом абсолютно любой интеграл можно посчитать через ряд Фурье (правда насчёт “абсолютно” я не до конца уверен, т.к. может возникнуть пробема скорости сходимости этого ряда).
Эта тема, как я понимаю, находится на стыке математики и компьютерных наук (алгоритмов оптимизации): почему при увеличении количества переменных в дифуравнениях вычислительные затраты возрастают, условно говоря, в миллиарды раз, а при переходе от кубических уравнений к уравнениям третьей степени – явно не в миллиарды.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 13:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hoper
Нельзя "придумать гиперсинус" - это давно бы сделали. Просто нельзя для 5-й степени явно выделить корни.
Но решить такие уравнения можно и на руках. Прикидываем вручную - рисуем - поведение функции. А дальше обычный итерационный процесс - который всегда сходится для полиномов в близких точках. Так что ни о каких "миллиардах" говорить нельзя. Дольше корень 7-й степени извлекать будете в возможной аналитической функции.
Даже 3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно: быстрее получается, чем расчёт кучи корней.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 16:42 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Даже 3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно: быстрее получается, чем расчёт кучи корней.


Это мне непонятно. Можете пояснить?
Мне казалось, можно уверенно утверждать что без формулы Кардано решение уравнений третьей степени было бы по крайне мере в тысячу раз более затратным в плане вычислительных ресурсов (при одинаковой точности решения).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 18:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть уравнение [math]x^3-13 \cdot x^2-7 \cdot x+37=0[/math] - только что придумал.
Формулы Кардано я не знаю. Вместо карандаша с бумагой пользую Excel. - Можно?
Вычисляю функцию с шагом 0,1 - и прикидываю график. Получаю два корня: -1,85 и 1.5.
Вычисляю итерацию [math]x=x-\frac{ f(x) }{ f'(x) }[/math] для обоих корней с постепенным приближением по методу Ньютона. На первом шаге невязка [math]1e-08[/math], на втором - ноль. Корни 1,515869 и - 1.83298.
Так считали математики три века.
А затраптив полчаса на формулу Кардано, ты должен ещё столько же потратить на вычисление корней - n-й степени.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 18:34 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
А затраптив полчаса на формулу Кардано, ты должен ещё столько же потратить на вычисление корней - n-й степени.


Вовсе не полчаса.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%BE

Формула Кардано принципиально ничем не отличается от метода решения квадратных уравнений через дискриминант, только оперирует комплексными числами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 18:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hoper писал(а):
Вовсе не полчаса.

Я оперирую порядками - коль речь зашла о миллиардах. И то, что
atlakatl писал(а):
3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно
, не моя фантазия, а литературные данные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
СообщениеДобавлено: 02 окт 2018, 22:18 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl писал(а):
Hoper писал(а):
Вовсе не полчаса.

Я оперирую порядками - коль речь зашла о миллиардах. И то, что
atlakatl писал(а):
3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно
, не моя фантазия, а литературные данные.


Это уже после Кардано (16 век)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
помощь в решение дифференциальных уравнениях

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

nikblack2015

1

266

09 май 2015, 17:37

Замена в линейных однородных дифференциальных уравнениях

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

CookKostia

4

339

08 авг 2020, 10:45

Разделение переменных, замена переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

champion12

0

363

23 май 2015, 11:26

Разделение переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

graft

3

290

13 май 2015, 14:45

Уравнение Лапласа в трехмерном случае. Разделение переменных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ilmari_81

3

531

11 янв 2017, 19:13

Замена переменных в системе дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Revember

1

652

01 июл 2014, 18:36

0/0 или сокращение дробей в уравнениях

в форуме Алгебра

fingolfin

6

479

07 мар 2016, 05:09

Физика в дифф уравнениях

в форуме Дифференциальное исчисление

LittleMonkey

1

257

20 май 2015, 17:16

Разделение секрета

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

leshakarpov

2

513

30 апр 2014, 19:38

Задача Коши в уравнениях мат. физики

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

LeMoN93

0

344

09 окт 2014, 18:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved