Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Коэффициенты прогонки на границе двух сред
СообщениеДобавлено: 02 сен 2015, 12:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 сен 2015, 11:41
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Строю разностную схему уравнения теплопроводности для двумерного случая двухслойного материала с функцией источника. Вводим условие IV рода на границе сред, которая находится в [math]x = x'[/math]:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& U_{1, i'} = U_{2, i'}, \\& -\lambda_{1}\tfrac{\delta U_{1}}{\delta x}=-\lambda_{2}\tfrac{\delta U_{2}}{\delta x} \\& x = x', \end{aligned}\right.[/math]
где [math]\lambda[/math] – коэффициент теплопроводности среды.

Для простоты рассматриваю сначала одномерный случай без дополнительного источника тепла:
[math]\tfrac{\delta U}{\delta t}=a\tfrac{\delta^2 U}{\delta x^2}[/math], где [math]a=\tfrac{\lambda}{\rho c}[/math] – коэффициент температуропроводности.

Разложим функцию теплопроводности в окрестностях точки границы сред в ряд Тейлора до членов второго порядка относительно пространственного шага:
[math]U_2^{n+1} = U_1^{n+1} + h\tfrac{\delta U}{\delta x} + h^2\tfrac{\delta^2 U}{\delta x^2}[/math].

Подставим производную второго порядка и получим:
[math]\tfrac{\delta U}{\delta x} = \tfrac{U_2^{n+1} - U_1^{n+1}}{h} - \tfrac{h}{2a}\tfrac{\delta U}{\delta t}[/math]

Подставим в систему для получения коэффициентов прогонки:
[math]\left\{\begin{array}{rl}& -\lambda_{1}\tfrac{\delta U_{1}}{\delta x}=-\lambda_{2}\tfrac{\delta U_{2}}{\delta x},\\& U_{i'-1} = \alpha_{i'-1} U_{i'} + \beta_{i'-1}\end{array}\right.[/math]

Если же то же самое надо проделать для двумерного случая с источником тепла, то есть для задачи:
[math]\rho c \tfrac{\delta U}{\delta t} - \lambda (\tfrac{\delta^2 U}{\delta x^2} + \tfrac{\delta^2 U}{\delta y^2}) = f(x, y, t)[/math]

Правильно ли я считаю, что система будет выглядеть как
[math]\left\{\begin{array}{rl}& -\lambda_{1}(\tfrac{\delta U_{1}}{\delta x} + \tfrac{\delta U_{1}}{\delta y}) + f(x, y, t)=-\lambda_{2}(\tfrac{\delta U_{2}}{\delta x} + \tfrac{\delta U_{2}}{\delta y}) + f(x, y, t),\\& U_{i'-1} = \alpha_{i'-1} U_{i'} + \beta_{i'-1}\end{array}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Поведение электромагнитной волны на границе двух сред

в форуме Электричество и Магнетизм

Narsky

1

945

02 окт 2016, 10:47

Найти коэффициенты в формуле зависимости двух рядов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

finich

3

325

12 сен 2016, 16:14

На приведенном слева рисунке представлены кривые сред­них

в форуме Экономика и Финансы

Just_save731

0

203

28 апр 2021, 12:46

Реализация метода прогонки в maple

в форуме Maple

purgin4ik

2

1289

23 май 2015, 17:06

Вывод прогоночных коэффициентов в методе прогонки

в форуме Численные методы

MoonGuard

1

877

06 янв 2014, 23:41

Метод прогонки (аппроксимация через фиктивный узел)

в форуме Численные методы

Aspromist

1

378

29 май 2015, 10:15

ЧМ, Потоковый вариант метода прогонки для решения СЛАУ?

в форуме Численные методы

pi-314

1

571

08 апр 2014, 18:46

Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого с

в форуме Численные методы

IRIKA

0

296

06 июн 2015, 02:15

Интеграл по границе многосвязной области

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Free Dreamer

0

295

16 янв 2013, 18:25

Найти интеграл по границе области D

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Nightwish7

6

1021

11 апр 2013, 21:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved