Что дает увеличение мерности?

Навеяно в процессе обсуждения с Захаром.

Рассмотрим 0-мерное пространство. Это точка. В ней невозможны никакие преобразования.
1-мерное пространство: линия. В ней возможны два преобразования: смещение и масштабирование.
2-мерное: плоскость. На ней к смещению и масштабированию добавляется поворот.
3-мерное пространство, объем. Возможны те же самые смещение, масштабирование, поворот (только в большем количестве). Никакого нового типа преобразования не добавилось.
Почему?
И будут ли появляться новые типы возможных преобразований с дальнейшим повышением мерности?

Всякие деформации исключаете? Почему?

Новый тип характеризуется появлением уникального параметра: для смещения это координата, для масштабирования - масштабный коэффициент, для поворота - угол.
А для деформации я затрудняюсь назвать такой параметр, который характеризовал бы их уникальное отличие от других.
(Я думаю, что деформации являются сочетанием других преобразований.)

Ну хорошо, мы можем прибавить "деформации" - и они возможны во всех мерностях, кроме нулевой.
Это не изменяет вопроса: почему добавление третьей мерности не дало нового типа преобразований, и даст ли их дальнейшее наращивание мерности?

Что есть истина преобразование?
Например, функция [math]y=x^2[/math] преобразует отрезок в кусок параболы.

Примеры я дал в первом посте.

Есть ещё отражения. Есть проективные и конформные преобразования.
Я не знаю как ответить на вопрос, почему увеличение размерности не приводит к появлению новых типов преобразований. Я не понимаю, что такое "новый тип преобразования" в свете того, что написал выше.
Они, вероятно, все описываются какими-нибудь [math]n-[/math]мерными многообразиями и их преобразованиями, но я не знаток. Это слишком сложно для меня.

Отражение это масштабирование с отрицательным коэффициентом.

Это преобразование, несводимое к другим преобразованиям, по причине наличия собственного уникального параметра. (Писал выше).
Вообще, я конечно мыслю туманно в этой теме, так что могу изъясняться только в стиле примеров

Ну, отражение же может быть относительно любой прямой, не только относительно начала координат.

А это еще использование смещений.